Komplexe Menge skizzieren

Question

Aufgabe:

$$\left\{z|Re(zk-i)=z\right\}$$

zk steht in diesem Fall für die konjugiert komplexe Zahl von z

Die Aufgabe besteht darin die oben benannten Punktmenge in $$\mathbb{C}$$ zu skizzieren

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist die ganze x-Achse, denn:

-der Realteil ist eine reelle Zahl

- Re=z also $$z \in \mathbb{R}$$

-Den letzten Punkt verstehe ich jetzt leider nicht, denn jetzt muss ich ja schauen, ob es auf der x-Achse noch eingeschränkt ist. In der Lösung steht $$Re(zk-i)=z für alle z\in\mathbb{R}$$

Versteht jemand den letzten Punkt und könnte ihn erklären?

Danke

Answer 1

Hallo,

wenn ein \(z \in \mathbb{C}\) die Gleichung erfüllt, dann gilt notwendig \(z \in \mathbb{R}\), weil der Realteil als reelle Zahl definiert ist.

Es könnte sein, dass nicht alle reelle Zahlen die Gleichung erfüllen. Das kann man ausschließen, indem man für reelle x die Gültigkeit der Gleichung nachrechnet: für \(x \in \mathbb{R}\) ist \(\bar{x}=x\) (konjugiert komplex und die komplexe Zahl \x-i\) hat den Realteil x. Also gilt in der Tat: \(Re(\bar{x}-i)=x\).

Gruß