Basis von M bestimmen /Kern

Question

Aufgabe: hallo liebe leute

kann mir hier jemand eventuell helfen.

(i) Gebe jeweils eine Basis von M an.

M1:={p(X)|p/`(x)=ax^3+bx^2+cx+d, p(-1)=p(1)=0}.

M2:={p(x)|p(x)=ax^3+bx^2+cx+d,    p(1)=p(2)}.

(ii) bestimme eine Basis des Kerns von

2w+3x+4y-7z=0

-w-x+y+z=0

vielen dank im voraus.

Answer 1

M1 :   p(-1)=p(1)=0 ==>   b+d=0 und a+c=0 also

c=-a und d=-b also sind die alle von der Form

ax^3+bx^2-ax-b =  a* ( x^3 -x) + b * ( x^2 - 1 ) 

Basis also {   ( x^3 -x   ;    x^2 - 1  }

Kerns von

2w+3x+4y-7z=0
-w-x +y    +z=0  | *2  + 1. Gleichung

==>

2w+3x+4y - 7z=0

      x +6y +5z=0

also kann man y, z frei wählen und hat dann

               x = - 6y - 5z

und damit 2w = -3( - 6y - 5z) - 4y +  7z = 14y + 22z

            ==>   w = 7y + 11z , also sehen die

Elemente im Kern so aus :

   ( 7y + 11z ;  -6y - 5z ;  y ; z )

= y* (7;-6;1;0) + z*( 11 ; -5 ; 0 ; 1 )

==>  Basis ist {  (7;-6;1;0)  ; ( 11 ; -5 ; 0 ; 1 )   }

Comments

vielen dank!

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2w+3x+4y-7z=0
-w-x +y   +z=0  | *2  + 1. Gleichung

Kann man bei diesem Schritt nicht bereits 2 Variablen wählen für y und z und dementsprechend auflösen?

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Wie geht man bspw in der Aufgabe :

M1 : p(-1)=p(1)=0 ==>  b+d=0 und a+c=0 also

c=-a und d=-b also sind die alle von der Form

ax3+bx2-ax-b =  a* ( x3 -x) + b * ( x2 - 1 )
Basis also {  ( x3 -x ;    x2 - 1  }

genau vor?

was sind die Gedankengänge hinter diesen Vorgängen?

Ich weiss nicht welches Prinzip ich jetzt zb auf M2 übertragen kann.

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Wie geht man bspw in der Aufgabe :

M1 : p(-1)=p(1)=0 ==>  b+d=0 und a+c=0 also

c=-a und d=-b also sind die alle von der Form

ax3+bx2-ax-b =  a* ( x3 -x) + b * ( x2 - 1 )
Basis also {  ( x3 -x ;    x2 - 1  }



genau vor?

was sind die Gedankengänge hinter diesen Vorgängen?

Ich weiss nicht welches Prinzip ich jetzt zb auf M2 übertragen kann.

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Setze p(1)=p(2) ein und due erhältst eine lineare

Gleichung für a,b,c,d . Damit kannst du alles von

a,b,c abhängig machen und bekommst 3 Elemente in der Basis.

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ich habe eingesetzt beide werte also 1 und 2 für p und :

a + b + c + d = 8a + 4b + 2c + d

somit würde sich folgendes ergeben?

(a*1/8*x^3) + (b*1/4*x^2)+(c*1/2*x)+d

basis wäre also :

1/8 x^3 ; 1/4 x^2 ; 1/2x

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a + b + c + d = 8a + 4b + 2c + d

==>  0 = 7a + 3b + c

==>   c = -7a + 3b

somit würde sich folgendes ergeben

ax^3+bx^ + ( -7a + 3b )x + d

=a*( x^3 -7x) + b*(x^2+3x) + d

Basis also x^3 -7x  ; x^2+3x  ;    1