Aufgabe: Stellen Sie die Taylorenwticklung der Funktion y= ecos(x) um a=x0 =0 bis zum Glied 4. Ordnung auf. Verwenden Sie die Standard- Taylorreihen für cos(x) und ez .
Problem/Ansatz: Ist mit Standard-Taylorreihe das hier gemeint:f(x)=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \frac{f(a)}{n!} \) (x-a)n
Muss dann die Funktion y= ecos(x) vier Mal abgeleitet werden und dann für f(n)(a) eingesetzt werden?
Hallo,
das kann man so machen, wie Du gesagt hast. Allerdings verstehe ich den Aufgabentext so:
Schreibe
$$\exp(z)=1+z+\frac{1}{2} z^2+ \frac{1}{6}z^4+\frac{1}{24} z^4+ \ldots$$
und setze ein:
$$z=\cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+ \ldots$$
Beim Einsetzen sollte man das Ziel im Auge behalten und überflüssige Terme ignorieren.
Gruß
Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen.
Hallo
nein, du sollst die bekannten Reihen für ex und cos(x) benutzen, dein Verfahren gibt natürlich auch das gesuchte Ergebnis, das andere geht schneller, wenn du die 2 Reihen nicht kennst such sie im Netz, z,B, wiki.
Gruß lul
Mathepeter hat schon die richtige Idee genannt. Ableiten wäre hier zu umständlich.
exp(cos(x)) ≈ exp( 1- x2 /2 + 1/24 x4 )
= e* exp(-x2 /2 + 1/24 x4)
≈ e* [ 1+ (-x2 /2 + 1/24 x4) +1/2 (-x2 /2 + 1/24 x4)2]
= e* [ 1- x2/2 + x4 /6 + O(x6) ]
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