Stellen Sie die Taylorenwticklung der Funktion y= e^cos(x) um zum Glied 4. Ordnung auf

Question

Aufgabe: Stellen Sie die Taylorenwticklung der Funktion y= e^cos(x) um      a=x₀ =0 bis zum Glied 4. Ordnung auf. Verwenden Sie die Standard- Taylorreihen für cos(x) und e^z .

Problem/Ansatz: Ist mit Standard-Taylorreihe das hier gemeint:
f(x)=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)  \( \frac{f(a)}{n!} \)  (x-a)ⁿ

Muss dann die Funktion y= e^cos(x) vier Mal abgeleitet werden und dann für f⁽ⁿ⁾(a)  eingesetzt werden?

Comments

Hallo,

das kann man so machen, wie Du gesagt hast. Allerdings verstehe ich den Aufgabentext so:

Schreibe

$$\exp(z)=1+z+\frac{1}{2} z^2+ \frac{1}{6}z^4+\frac{1}{24} z^4+ \ldots$$

und setze ein:

$$z=\cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+ \ldots$$

Beim Einsetzen sollte man das Ziel im Auge behalten und überflüssige Terme ignorieren.

Gruß

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Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen.

Answer 1

Hallo

nein, du sollst die bekannten Reihen für e^x und cos(x) benutzen, dein Verfahren gibt natürlich auch das gesuchte Ergebnis, das andere geht schneller, wenn du die 2 Reihen nicht kennst such sie im Netz, z,B, wiki.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Mathepeter hat schon die richtige Idee genannt. Ableiten wäre hier zu umständlich.

exp(cos(x)) ≈ exp( 1- x^2 /2 + 1/24 x^4 )

= e* exp(-x^2 /2 + 1/24 x^4)

≈ e* [ 1+ (-x^2 /2 + 1/24 x^4) +1/2 (-x^2 /2 + 1/24 x^4)^2]

= e* [ 1- x^2/2 + x^4 /6 + O(x^6) ]