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Sei \( f:\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{x}{1-2 x} \)
a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für \( n \geq 1 \) die \( n \) -te Ableitung durch
$$ f^{(n)}(x)=\frac{2^{n-1} n !}{(1-2 x)^{n+1}} $$
gegeben ist.
b) Bestimmen Sie eine Ordnung \( n \in \mathbb{N}, \) sodass das Taylorpolynom \( n \) -ter Ordnung von \( f \) mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=-1 \) die Funktion \( f \) auf dem Intervall \( \left[-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right] \) mit einer Fehlertoleranz von \( \varepsilon=10^{-2} \) approximiert.
c) Geben Sie das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=-1 \) an, das \( f \) auf dem Intervall \( \left[-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right] \) mit einer Fehlertoleranz von \( \varepsilon=10^{-2} \) approximiert.
Aufgabe: Probleme mit einem Taylorpolynom n-ter Ordnung, mit gegebener Fehlertoleranz
Problem/Ansatz:
ich hatte gestern wegen der a) schonmal gefragt, wo mir auch sehr hilfreich geholfen wurde, ich habe daraufhin versucht die b) zu lösen, was ich jedoch bis jetzt nicht geschafft habe. Ich weiß wie das Taylorpolynom einer bestimmten Ordnung gebildet wird, aber ich habe leider keinen Schimmer wie es für ein Taylorpolynom der n-ten Ordnung gemacht werden soll. Ich hoffe, dass jemand der vielleicht mehr weiß mir helfen kann, die Aufgabe b) zu lösen, wobei ich bei der c) auch noch fragen wollte, ob da die Lösung von der b) wiedergegeben werden soll, weil ich mir da unsicher bin.
