Bestimme das Integral mithilfe der Riemannschen Summen

Question

Hallo, prinzipiell habe ich die Aufgabe verstanden, nur ich kann mein Wissen nicht explizit anwenden bei dieser Aufgabe. Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Sei \( b>0 . \) Bestimme das Integral
\(\int \limits_{0}^{b} x^{3} \mathrm{~d} x\)
mit Hilfe von Riemannschen Summen und der Summenformel
\(\sum \limits_{i=1}^{n} i^{3}=\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}\)

Answer 1

Das i-te Rechteck der Obersumme hat die Fläche \( \frac{b}{n} \) ·(\( \frac{bi}{n})^{3} \)=\( (\frac{n}{n})^{4} \) ·i³.

Die Flächensumme von n Rechtecken ist dann \( (\frac{b}{n})^{4} \) ·\( \frac{1}{4} \)·n²·(n+1)².

Vollständig ausmultiplizieren und n→∞.

Comments

\( \frac{b^3n^2+2b^3n+b^3}{4n} \)

Ok ausmultipliziert habe ich und jetzt?

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Hab in meiner Antwort eine Korrektur vorgenommen.

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\( \frac{b^4n^2+2b^4n+b^4}{4n^2} \)

Ok, dann schaut das Ganze so aus, wie muss ich weitermachen?

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Ich fürchte, meine Antwort war falsch.

Aber in deinem Term kann man den Nenner auf die Summanden im Zähler verteilen, Das ergibt dann b⁴/4+b⁴/(2n)+b⁴/(4n²). Das ist b⁴/4, wenn n→∞ geht. Das ist allerdings das richtige Ergebnis.