Funktion gerade oder ungerade

Question

Aufgabe:

Ist diese Funktion gerade oder nicht:

f(x)=x(2*pi-x)

Problem/Ansatz:

Ich würde hier f(-x) berechnen, also:

f(-x)= -2x*pi+x

-2x*pi+x=2x*pi-x   => Falsch daher ist die Funktion ungerade.

Wäre dies so korrekt?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=x\cdot(2\pi-x)=2\pi\,x-x^2$$

Wir erkennen eigentlich sofort, dass die Funktion sowohl Terme mit geraden \((x^2)\) und ungeraden \((x=x^1)\) Potenzen von \(x\) enthält. Daher ist sie weder gerade noch ungerade.

Um das formal zu prüfen, kannst du für als Argument \((-x)\) einesetzen und das Resultat prüfen:

$$f(-x)=-f(x)\implies \text{\(f\) ist punktsymmetrisch zum Urpsrung (ungerade)}$$$$f(-x)=f(x)\;\;\,\implies \text{\(f\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade)}$$

Wir tun das hier einfach mal:$$f(-x)=2\pi(-x)-(-x)^2=-2\pi x-x^2=-(2\pi x+x^2)\implies$$$$f(-x)\ne f(x)\quad;\quad f(-x)\ne-f(x)$$

Die Funktion ist also weder punktsymmetrisch (zum Ursprung) noch achsensymmetrisch (zur y-Achse).

Comments

Danke für die Ausführliche Antwort. Ich habs verstanden. Aber in dem Intervall 0<x<2*pi wäre die Funktion gerade, oder? Also wenn ich nur das Intervall betrachte

Answer 2

Bei ungerade müsste gelten

f(-x)=-f(x) .

Das stimmt aber auch nicht, also ist f weder gerade noch ungerade.