Kurvenuntersuchung der e-Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=4x*e^-0,5x

a) Bestimmen sie den Extremalpunkt und den Wendepunkt von f. Beschreiben sie das Monotonieverhalten und das Krümmunhsverhalten von f.

b) Bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente t von f

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Extrema und den Wendepunkt der e-Funktion bestimmen

Stichworte: wendepunkt,e-funktion,extrema,ableitung

Aufgabe:

Bestimmen sie die Extrema und den Wendepunkt von f.

f(x)=4x*e^-0.5x

f`(x)=e^(-0.5x)*(-2x+4)

f''(x)=e^(-0.5x)*(x-4)

Answer 1

Ich weiß nicht ob du schon bei der Bildung der
1.Ableitung Schwierigkeiten hast,
darum die 1.Ableitung jetzt ausführlich

f( x ) = 4 * x * e^(-0.5x )

4 ist eine Konstante
Produkt
x * e^(-0.5x )
( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´

u = x
u ´ = 1
v = e^(-0.5x )
v ´= [ e^(-0.5x ) ] ´
Ableitung e-funktion
[ e^term ] ´= e^term * ( term ´ )
term = - 0.5 * x
term ´= -0.5
[ e^(-0.5x ) ] ´ = e^(-0.5x ) * (-0.5)
v ´ = e^(-0.5x ) * (-0.5)

u ´ * v + u * v ´
1 * e^(-0.5x )  +  x * e^(-0.5x ) * (-0.5)
e^(-0.5x )  * ( 1 - 0.5 * x   )
jetzt noch die " mal 4 " hinzu
f ´( x ) = 4 * e^(-0.5x )  * ( 1 - 0.5 * x )

Frag nach bis die ganze Aufgabe geklärt ist.

Answer 2

hallo

du bildest einfach f'  und f'' nach der Produktregel.

setzt f'=o für Extrema und f''=0 für Wendepunkt. (dabei jeweils die e- Funktion ausklammern, die nie 0 wird) Kontrolle: Extrempunkt bei x=2, Wendepunkt bei x=4

in b dann Funktionswert am Wendepunkt bestimmen und Wert von f' damit hast du Steigung und einen Punkt der Wendetangente.

Gruß lul

Answer 3

Hallo Lea,

f(x) = 4x·e^-0,5x

f '(x)  =   2·e^{- x/2} ·( - x + 2 )

f "(x) =    e^{- x/2} ·( x - 4 )

f '  hat die einzige Nullstelle x=2  mit VZW  + → -    →  H (2 | 8/e) ≈ (2 | 2,94)

       in ] - ≈ ; 2 ] streng monoton steigend , in [2 ; ∞ [ streng monoton fallend

f "  hat die einzige Nullstelle x=4  mit VZW - → +    →  W (4 | 8/e) ≈ (2 | 2,17)

       in ] - ≈ ; 4 ]  rechtsgekrümmt , in [ 4 ; ∞ [  linksgekrümmt

Die Wendetangente hat die Steigung f '(4) = - 4 e^-2

t_w (x)  =  - 4 e^-2_· (x - 4) + 8/e   (Punkt-Steigungsformel)

Nachtrag:

Gruß Wolfgang

Answer 4

Bestimmen sie die Extrema

Bestimme die Nullstellen der Ableitung von f.

Setze sie in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis nicht 0, dann ist die Nullstelle der Ableitung eine Extremstelle von f.

Setze sie in f ein um die y-Koordinate zu bestimmen.

und den Wendepunkt von f.

Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung von f.

Setze sie in die dritte Ableitung ein. Ist das Ergebnis nicht 0, dann ist die Nullstelle der zweiten Ableitung eine Wendestelle von f.

Setze sie in f ein um die y-Koordinate zu bestimmen.

Comments

"Wendepunkt von f:

Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung von f.

Setze sie in die dritte Ableitung ein. Ist das Ergebnis nicht 0, dann ist die Nullstelle der zweiten Ableitung eine Wendestelle von f."

Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung von f. → Ist mir soweit klar.

Setze sie in die dritte Ableitung ein .→ Warum ist es dann kein Wendepunkt von f, wenn das Ergebnis 0 ist? Kannst du mir bitte eine Funktion notieren, wo dieser Fall relevant ist.

mfG

Moliets

---

kein Wendepunkt von f, wenn das Ergebnis 0 ist

Das habe ich nicht behauptet.

Die Behauptung ist falsch, wie man an f(x) = x³ sehen kann.

Answer 5

Aloha :)

Die beiden ersten Ableitungen hast du richtig:

$$f(x)=4x\,e^{-0,5x}$$$$f'(x)=(4-2x)\,e^{-0,5x}$$$$f''(x)=(x-4)\,e^{-0,5x}$$Wir nehmen noch die 3-te Ableitung dazu:$$f'''(x)=\left(3-\frac{x}{2}\right)\,e^{-0,5x}$$

a) Extremwerte

Da die \(e\)-Funktion immer positiv ist, also auch niemals gleich null wird, erleichtert sich die Suche nach einem Extremum:$$0\stackrel!=f'(x)=(4-2x)\,\underbrace{e^{-0,5x}}_{>0}\implies 4-2x=0\implies x=2$$$$f''(2)=(2-4)\,e^{-0,5\cdot2}=-2\,e^{-1}=-\frac{2}{e}<0\implies\text{Maximum}$$

Die Funktion hat ein Maximum bei \((2|\frac{8}{e})\).

b) Wendepunkte$$0\stackrel!=f''(x)=(x-4)\,\underbrace{e^{-0,5x}}_{>0}\implies x-4=0\implies x=4$$$$f'''(4)=\left(3-\frac{4}{2}\right)\,e^{-0,5\cdot4}=1\cdot e^{-2}=\frac{1}{e^2}\ne0\implies\text{Wendepunkt}$$

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei \((4|\frac{16}{e^2})\).

~plot~ 4x*e^(-0,5x) ; {2|8/e} ; {4|16/e^2} ; [[-1|10|-3|3]] ~plot~

Comments

Wie kommt man bei dem Extrema auf 8/e ?

Und bei dem Wendepunkt auf 16/e^2 ?

---

Ich habe die ermittelte Stelle \(x=2\) in die Funktion eingesetzt: \(f(2)=\frac{8}{e}\).

Dasselbe habe ich beim Wendepunkt gemacht: \(f(4)=\frac{16}{e^2}\).

Answer 6

Text erkannt:

\( f(x)=4 x \cdot e^{-0,5 x} \)
\( f(x)=\frac{4 x}{e^{0,5 x}} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{4 \cdot e^{0,5 x}-4 x \cdot 0,5 \cdot e^{0,5 x}}{\left(e^{0,5 x}\right)^{2}}=\frac{4-2 x}{e^{0,5 x}} \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=\frac{(-2) \cdot e^{0,5 x}-(4-2 x) \cdot 0,5 \cdot e^{0,5 x}}{\left(e^{0,5 x}\right)^{2}}=\frac{(-2)-(4-2 x) \cdot 0,5}{e^{0,5 x}}=\frac{x-4}{e^{0,5 x}} \)
\( f^{\prime}(x)=0 \)
\( x=2 \rightarrow f(2)=\frac{4 \cdot 2}{e^{0,5 \cdot 2}}=\frac{8}{e} \approx 2,943 \)
Art des Extremums:
\( f^{\prime \prime}(2)=\frac{2-4}{e^{0,5 \cdot 2}}=\frac{-2}{e}<0 \rightarrow \) Maximum
Wendepunkt:
\( f^{\cdots}(x)=0 \)
\( \frac{x-4}{e^{0,5 x}}=0 \)
\( x=4 \rightarrow f(4)=\frac{4 \cdot 4}{e^{0,5 \cdot 4}}=\frac{16}{e^{2}} \approx 2,165 \)

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{4 x}{e^{0.5 x}} \)
\( \mathrm{A}=\left(2, \frac{8}{\mathrm{e}}\right) \)
\( \rightarrow(2,2.94) \)
\( \mathrm{B}=\left(4, \frac{16}{\mathrm{e}^{2}}\right) \)