Zeigen Sie, dass cn monoton fällt und dass dn monoton steigt.

Question

Aufgabe:

Für n ∈ ℕ sei cn := \( \frac{1}{n!} \) * \( \frac{n}{e}^{n} \) und dn:= ncn.

Zeigen Sie, dass cn monoton fällt und dass dn monoton steigt.

Folgern Sie daraus , dass für alle n ∈ ℕ gilt

e \( \frac{n}{e}^{n} \) ≤ n! ≤ en \( \frac{n}{e}^{n} \)

Problem/Ansatz:

Wenn ich meine Gleichung aufstelle komme ich auf

ln(n) ≥ ln(n+1) - \( \frac{1}{n} \)

Ist das schon der Beweis, dass cn monoton fallend ist ?

Kann mir jemand weiterhelfen ?

Comments

Für mich ist die Definition von cn unlesbar steh da n!*1/e*n^n?

ebensowenig kann ich die Ungleichung lesen

lul

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Da steht (1/n!)*(n/e)^n

Answer 1

Hallo

ist bekannt, dass (1+1/n)^n<e. dann fang damit an 1>(1+1/n)^n/e , multipliziere mit n^n, dividiere durch n!*e^n beachte (n+1)!=n!*n+1)

schneller geht es wenn du von der Ungleichung c_n>c_n+1 ausgehst

entsprechendes für dn

Was du "deine Gleichung"  nennst verstehe ich nicht ganz und deine Ungleichung   sagt mit n>(n+1)*e^-1/n die verstehe ich nicht.

Gruß lul