Aloha :)
Wenn du das Doppelte der ersten Zeile zu der zweiten Zeile addierst, erhältst du eine Nullzeile.$$\begin{array}{rrr}x_1 & x_2 & =\\\hline5 & 8 & -32\\-10 & -16 & 64\\\hline5 & 8 & -32\\0 & 0 & 0\\\hline\hline\end{array}$$Die zweite Gleichung lautet:$$0x_1+0x_2=0$$
und ist für alle \((x_1;x_2)\) immer erfüllt. Daher ist das Gleichungssystem lösbar.
Zur Lösung haben wir allerdings nur noch eine Gleichung übrig:$$5x_1+8x_2=-32$$Das heißt, wir können eine Variable völlig frei wählen, z.B. \(x_1\). Die andere Variable ist dann aber durch die Gleichung fest vorgegeben:$$8x_2=-32-5x_1\implies x_2=-4-\frac{5}{8}x_1$$Damit können wir alle Lösungspunkte angeben:
$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1}{-4-\frac{5}{8}x_1}=\binom{0}{-4}+x_1\binom{1}{-\frac{5}{8}}$$
Da du für \(x_1\) alle Zahlen aus \(\mathbb R\) einsetzen darfst, kannst du auch eine neue Variable definieren. Bei der Gelegenheit würde ich noch \(\frac{1}{8}\) ausklammern, das gibt ganze Zahlen:
$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{-4}+\frac{x_1}{8}\binom{8}{-5}$$
Mit \(t\coloneqq\frac{x_1}{8}\) lauten dann alle Lösungen:
$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{-4}+t\cdot\binom{8}{-5}\quad;\quad t\in\mathbb R$$
