Welche Variable darf frei gewählt werden und welche nicht?

Question

Aufgabe:

Welche Variable darf frei gewählt werden und welche nicht?

Problem/Ansatz:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\\end{pmatrix} \)

Habe die Matrix auf Zeilen-Stufenform gebracht. Darf hier nun x3 und x4 frei wählen, um das homogene GS zu lösen?

Edit: x3 und x4 scheint zu gehen. Gibt es dafür irgendwie eine Regel, die ich nicht weiß?

Answer 1

Aloha :)

Aus der Matrix kannst du zwei Gleichungen ablesen:$$x_1+x_3+x_4=0\quad;\quad x_2-x_4=0$$Die erste kannst du nach \(x_1\) und die zweite nach \(x_2\) umstellen:$$x_1=-x_3-x_4\quad;\quad x_2=x_4$$Damit hast du folgende Lösungen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_3-x_4\\x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$Du kannst also zwei Koordinaten frei wählen. Die beiden anderen sind dann durch die beiden Gleichungen vorgegeben.

Comments

Ja das habe ich genauso, danke. Meine Frage war aber eher, wie ich erkennen kann, welche Variablen ich wählen darf und welche eben nicht

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Die Variablen, bei denen die Spalte aus lauter Nullen und genau einer Eins besteht, kommen auf die linke Seite. Das sind diejenigen, die nicht gewählt werden können, sondern berechnet werden. Hier also \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Allerdings darf man aus jeder Zeile nur eine Eins auswählen, deswegen musst du dich für \(x_1\) oder für \(x_3\) entscheiden.

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Vielen Dank!

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Die Frage war: Welche Variable darf frei gewählt werden und welche nicht?
Antwort: Es dürfen 2 beliebige der 4 Variablen frei gewählt werden!

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Ja, aber wenn du die Lösungen direkt aus dem Gauß-Verfahren aufschreiben möchtest, ist die genannte Methode am einfachsten.

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Das war nicht die Frage und meine Beispiele sehen nicht unterschiedlcih schwer aus...

Answer 2

Also

\(\left(\begin{array}{r}x1 + x3 + x4\\x2 - x4\\\end{array}\right)=0\)

{x1 = t, x2 = r}

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&1\\0&1&0&-1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}t\\r\\-r - t\\r\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\0\\\end{array}\right) \right\} \)

{x3 = t, x2 = r}

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&1\\0&1&0&-1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}-r - t\\r\\t\\r\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\0\\\end{array}\right) \right\} \)

{x3 = t, x4 = r}

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&1\\0&1&0&-1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}-r - t\\r\\t\\r\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}0\\0\\\end{array}\right) \right\} \)

Comments

Ebenfalls danke! Durch beide Antworten verstehe ich es jetzt. Schönen Abend noch!