Aloha :)
$$e^y=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{y^k}{k!}=\frac{y^0}{0!}+\frac{y^1}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}+0(y^4)=1+y+\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{6}+O(y^4)$$$$y=\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+O(x^5)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$
Damit bauen wir die gesuchte Potenzreihe:$$e^{\sin x}=1+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2+\frac{1}{6}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3+O(x^4)$$$$\phantom{e^{\sin x}}=1+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}\right)+\frac{1}{6}\left(x^3-\frac{x^5}{2}+\frac{x^7}{12}-\frac{x^9}{216}\right)+O(x^4)$$Wir sollen nur bis zur dritten Ordnung entwickeln, daher lassen wir alle Summanden aus \(O(x^4)\) weg:$$\phantom{e^{\sin x}}=1+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)$$Damit sind wir fertig:$$e^{\sin x}\approx1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^4)$$
