Reihe auf integrierbarkeit prüfen

Question

Aufgabe:

Untersuche Sie $$ p(x)=\sum_{k=0}^{n}(a_{k}*x^{k}) $$ mit $$ n\in \N $$ und $$a_{0},a_{1},...,a_{n}\in \N $$ von $$ \R \rightarrow \R $$ auf integrierbarkeit auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b].

Problem/Ansatz:

Man müsste ja eigentlich eine Fallunterscheidung machen für $$ x<1 $$ und $$ x\geqslant 1 $$. Kann man irgendwie eine Folge p_{n} kreieren wodurch man das a dann jeweils als konstante rausziehen kann um die geometrische Reihe umschreiben zu können? Bzw. Kann man daraus dann etwas folgern? Oder kann man eine stetigkeit zeigen? Ich habe bis jetzt noch nie auf integrierbarkeit überprüft und weiß leider nicht wie ich da vorgehen soll.

Vielen Dank im voraus!!:)

Comments

Ich würde sagen, dass Integral ist

$$ \int_a^b p(x) dx = \int_a^b \bigg( \sum_{k=0}^n a_k x^k \bigg) dx = \sum_{k=0}^n a_k \bigg( \int_a^b x^k dx \bigg)  = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} x^{k+1} \bigg|_a^b = \\ \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} \bigg[  b^{k+1} - a^{k+1} \bigg]  $$

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Danke. Aber wie prüft man darauf ob die Reihe auch wirklich integrierbar ist? Du hast ja somit schon vorausgesetzt dass es integrierbar ist.

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Die einzelnen Summen sind integrierbar. Ich geh davon aus, dass es klar ist, das \( x^k \) integrierbar ist. Und da die Summe endlich ist, gibt es auch keine Probleme mit der Konvergenz.

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Ok also das heißt ich teile die Summe in einzelne summanden auf, also $$ a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+...+a_{n}x^{n} $$ Da ich weiß, dass x^{k} integrierbar ist und uns der vorfaktor bei den einzelnen Summanden nicht stört und die ganze Summe ja endlich sein muss, ist die ganze Summe auch integrierbar?

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So ises..............

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Ok danke! :)