Wie beweise ich, dass Supremum und Infimum einer Folge?

Question

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Ich habe folgende Folge gegeben und soll das Infimum, Supremum, Limes Superior, Limes Inferior und die Häufungspunkte bestimmen.

Die Folge lautet:

(a_k) = (-1)^(n+1) + 1/n

Die Vorarbeit habe ich geleistet.

Die Häufungspunkte sind : -1 und 1

Der Limes sup ist 1, Limes inf -1, sup = 2 und der inf = -1.5.

Die Häufungspunkte sind durch das aufspalten in Teilfolgen und entsprechendes Nachweisen durch die Definition der Konvergenz bewiesen. Der Limes sup und Limes inf ist auch durch die Definition einer Teilfolge bewiesen. Das einzige Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das sup und inf beweisen soll.

Kann mir jemand bitte helfen?

Danke.

Answer 1

Ist wohl   a_n = (-1)^(n+1) + 1/n

also sind die Folgengleider 1+ 1/1 ;  -1 + 1/2  ;   1 + 1/3   ;   -1 +   1/4  ; .....

Zeige sup( a_n)  = max ( a_n) =  2 indem du die

Ungleichung       (-1)^(n+1) + 1/n ≤ 2   für alle n beweist
                                und da 2 selbst ein Folgengleid ist, ist es das max.

inf ( a_n) = -1 .  Zeige  -1   ≤   (-1)^(n+1) + 1/n   für alle n

und nimm dann an, es wäre S>-1 eine untere Schranke für a_n, also

gilt für alle n             S    ≤  (-1)^(n+1) + 1/n

==>   S - ( -1)^(n+1)    ≤  1/n

also insbesondere für gerades n ==>

                S + 1    ≤  1/n

wegen S> -1  gilt S+1 > 0 , es gibt also ein k>0

mit                    k   ≤  1/n   für alle geraden n ∈ℕ.

   ==>      n     ≤    k   im Widerspruch zur Unbeschränktheit

der Menge aller geraden nat. Zahlen.

Comments

Danke Ihnen. Übungsblatt war ein voller Erfolg!