Bestimmen sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

Question

Aufgabe:

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Frage 1 Punkt
Bestimmen sie de partiellen Ableitungen erster und rweiter Ordnung der Funktion
$$ f\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}+3 x_{1} x_{2}-7 x_{2}^{2}+4 x_{1}^{3}-1 x_{1}^{2} x_{2}+1 x_{1} x_{2}^{2}+1 x_{2}^{3} $$
an der Stelle \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(2,1) . \)
Die hesse-Matrix \( f^{\prime \prime}(2,1) \) hat folgende
Determinante dieser Hesse-Matrix
An dieser stelle ist die Funktion:
6.1. konvex
6.2 konkav
is. weder konvex noch konkav

Ich war bei dieser Einheit leider krank und weiß absolut nicht wie ich auf die Lösung kommen soll.

Answer 1

Ich schreibe mal x und y statt x1 und x2 .

Wenn du eine partielle Ableitung berechnest, dann leitest du ganz normal

nach einer Variablen ab und betrachtest die andere als Konstante, also

f_x = 12x^2 - 2xy + y^2 + 3y + 3

f_y=3y^2 + 2xy - 14y - x^2 + 3x

und die 2.Ableitungen

f_xx=24x - 2y

f_xy=2y-2x+3 = f_yx

f_yy=6y+2x-14

An der Stelle (2;1) gibt das

f_xx(2;1)=46   f_xy (2;1)= 1 =  f_xy (2;1)   f_yy(2;1) = -4

Hessematrix also

     46      1
           1      -4

also det= -185.

Also Hessematrix indefinit.

Damit ist

( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix#Konvexit%C3%A4t

die Funktion dort weder konkav noch konvex.

Comments

Ist die Hessematrix nicht:

46     1

1      -4

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Du hast recht, ich hatte mich vertan.

Korrigiere ich.

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Dann ist det= 185 und somit die Funktion dort konkav?

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Ich komme auf -185 also indefinit.

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Ich meine -185 ((46*-4)-(1*1)) nicht?

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jetzt steht es oben falsch -182

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Ist korrigiert.

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Danke für die schnelle Hilfe!