Aufgaben zur Vektorenrechnung Anwendungen

Question

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte A(7/2/1) B(2/6/1) C(-2/1/1)

Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Seitenkante AS sowie den Neigungswinkel der Seitenfläche ABS jeweils zur Grundfläche der Pyramide.

S(5÷2/3÷2/7)

Comments

Ich nehme an, der Punkt \(S\) ist \(S(\frac 52|\, \frac 32|\, 7)\) ... oder?

Answer 1

Die Grundfläche ist die Ebene mit z=1

( Alle Punkte haben 3. Koordinate 1) .

Ein Normalenvektor dieser Ebene ist  n = (0;0;1)^T .

AS ist als Vektor  v =  ( -2 ;   -4/3   ;   -5/7    )^T

Winkel zwischen n und v bekommst du mit

cos (α) = | v*n | /  (  |n| * | v | )

        =   (5/7) /  (  √(2773/441) * 1  )  ≈ 0,285

==>   α≈ 73,4° Also ist der Winkel zwischen AS und

der Ebene ca. 16,6°.

Für die Seitenfläche ABS bekomme ich als

Normalenvektor ( 60 ; 75 ; -308)^T

Also ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren

der Ebenen (Und das ist ja auch der Winkel

zwischen den Ebenen)

arccos( 308 / ( √104089) * 1 ) ≈ arccos( 0,955)≈17,3°

Comments

Wie kommt man den auf die Ebene von 73,4

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cos (α)   ≈ 0,285  

Dann cos^(-1) (0,285)  in Taschenrechner eintippen

(Einstellung "degree" und nicht etwa "rad" ) gibt 73,4°

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Die obige Antwort geht davon aus, dass \(S\) bei \(S(5|\, \frac23|\, \frac27)\) liegt.

Answer 2

Hallo Caro,

ich gehe davon aus, dass die Spitze \(S\) bei \(S(\frac 52|\, \frac 32|\, 7)\) liegt. Damit liegt sie auch genau oberhalb der Mitte der Grundfläche \(ABCD\) der Pyramide. Mache Dir zunächst mal anschaulich klar, welche Winkel man berechnen soll. Das siehst Du auf folgendem Bild:

(klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D und Du kannst es mit der Maus rotieren)

Gesucht ist der Neigungswinkel der Seitenkante AS ... den nenne ich mal \(\beta\) (blau) ... und der Neigungswinkel der Seitenfläche ABS ... das sei \(\alpha\) (rot) ... jeweils zur Grundfläche der Pyramide.

Sind zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gegeben, die einen Winkel \(\varphi\) einschließen, so ist der Winkel \(\varphi\)$$\varphi = \arccos\left(  \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \right)$$Und hier ist $$\begin{aligned}\alpha &= \arccos\left( \frac{\vec{M_a M_c} \cdot \vec{M_aS}}{|\vec{M_a M_c}| \cdot |\vec{M_aS}|} \right) &&\left|\,\vec{M_a M_c} = \vec{BC}  \right.\\&= \arccos\left( \frac 1{\sqrt{41} \cdot \sqrt{46.25}} \begin{pmatrix}-4\\ -5\\ 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2\\ -2.5\\ 6\end{pmatrix} \right) \\&\approx 61,92° \\ \beta&= \arccos\left( \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AS}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AS}|} \right) \\&= \frac 1{\sqrt{82} \cdot \sqrt{56,5}} \begin{pmatrix}-9\\ -1\\ 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-4.5\\ -0.5\\ 6\end{pmatrix} \\&\approx 52,96°\end{aligned}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.