Quadratische Funktionen ( Flächeninhalt)

Question

Ein Fenster soll bei einem Umfang U= 5m diese Form haben  (Rechteckseiten a und b sowie oben einen Halbkreisbogen; sprich ein rechteckiges Fenster mit einem Halbkreisbogen oben; unten bzw. gegenüber vom Halbkreisbogen ist b und die Seite ist a).
Zeigen Sie, dass man den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Seite b mittels der quadratischen Funktion

A(b)=[ (10-bπ-2b) /4 ] * b +  b²/8*π    ( /  =  Bruchstrich)

berechnen kann.

Answer 1

Nun, für den Flächeninhalt A gilt:
$$A=ab+\frac { 1 }{ 2 } \pi { r }^{ 2 }$$
Dabei ist r der Radius des aufgesetzten Halbkreisbogens. Der Radius hat die Länge \(r=\frac { b }{ 2 }\) sodass gilt:
$$A=ab+\frac { 1 }{ 2 } \pi { \frac { { b }^{ 2 } }{ 4 }  }$$$$\Leftrightarrow A=ab+\frac { \pi { b }^{ 2 } }{ 8 }$$
Für den Umfang U gilt:
$$U=2a+b+\pi r=5$$$$\Leftrightarrow 2a=5-b-\pi r$$
Mit \(r=\frac { b }{ 2 }\) :
$$\Leftrightarrow 2a=5-b-\pi \frac { b }{ 2 } =\frac { 10-2b-\pi b }{ 2 }$$$$\Leftrightarrow a=\frac { 10-2b-\pi b }{ 4 }$$
Dies eingesetzt in
$$A=ab+\frac { \pi { b }^{ 2 } }{ 8 }$$
ergibt:
$$A(b)=ab+\frac { \pi { b }^{ 2 } }{ 8 }=\frac { 10-2b-\pi b }{ 4 } b+\frac { \pi { b }^{ 2 } }{ 8 }$$
q.e.d.