Folgende Gleichung mit vollständiger Induktion beweisen.

Question

Aufgabe:

Folgende Aufgabe muss mittels vollständiger Induktion gelöst werden.

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=\frac{n}{3 n+1} \)

Problem/Ansatz:

Bis zum Induktionsanfang komme ich mit. Man setzt auf beiden Seiten 1 als erste natürliche Zahl ein. Danach folgt der Induktionsschritt mit n+1 auf beiden Seiten. Wie gehe ich hier genau vor?

Answer 1

Ind. Annahme

$$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=\frac{n}{3 n+1}$$$$\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=$$$$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}+\frac{1}{(3n+1)(3n+4)}=$$$$\frac{n}{3 n+1}+\frac{1}{(3n+1)(3n+4)}=$$$$\frac{ n(3n+4)+1 }{(3n+1)(3n+4)}=$$

$$\frac{ (3n+1)(n+1) }{(3n+1)(3n+4)}=$$

$$\frac{ n+1 }{3(n+1)+1}$$

Ind Schluss wzzw

Comments

Habs gerade auch durch gerechnet und kann deine Lösung bestätigen ;)

---

Vielen dank für diese großartige Hilfe. Ich benötige noch folgende Informationen: Wie komme ich auf diesen Teil beim umformen? Welche Schritte muss ich hier ausführen?

\( \sum\limits_{n=1}^{n+1}{\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}} \) =

\( \sum\limits_{n=1}^{n}{\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}} = \frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \)  

---

Oh, da hast du etwas vertauscht, zwischen der Summe und dem Bruch steht ein Plus (+). Ich habe zur Summe der ersten n Folgeglieder nur das n+1 te hinzugefügt. nimm also den Bruch hinter der Summe und setze da für k=n+1

(3k-2) =( 3(n+1)-2)=(3n+3-2)=(3n+1)

(3k+1)=(3(n+1)+1)=(3n+3+1)=(3n+4)

---

Hallo, danke, hab's jetzt verstanden. :)