Habt Ihr eine Idee wie ich die Gleichung lösen kann?

Question

Aufgabe:

((tg(x)+√3)〖log〗_13 (2〖sin〗^2 x))/(〖log〗_31 (√(2 cosx ))=0

Problem/Ansatz:

Hallo. Habe es mit Basiswechsel und allen mir bekannten Regeln versucht. Mir gelingt es nicht die Gleichung zu lösen. Habt Ihr eine Idee?

Comments

Es wäre hilfreich, wenn Du die Gleichung in lesbarer Form aufschreiben könntest.

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Ich habe die Formel in Word geschrieben, dann kopiert und dann ist es so herausgekommen. Die Zahl nach dem log mit Unterstrich bedeutet Basis. Was ist unklar? Kann es hier nicht ander darstellen.

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((tg(x)+√3)*log_13(2 sin^2(x)))/(log_31(√(2 cosx ))=0

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Meinst Du das?

\( (\tan (x)+\sqrt{3}) \frac{\log _{13}\left(2 \sin ^{2}(x)\right)}{\log _{31}(\sqrt{2 \cos (x)})} =0 \)

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so ungefähr, die basen des log sind einmal 13 und das andermal 31. so wie ich es geschrieben habe.

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Mein CAS sagt:

\( x=\pi n-\frac{\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \)
\( x=\pi n+\frac{\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \)
\( x=2 \pi n+\frac{2 \pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \)

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Da meint es dein CAS aber reichlich gut mit dir - soooo viele Lösungen ...

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Es gibt sich, hat und macht Mühe. Würde es es gut mit mir meinen, könnte es Kaffee kochen.

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Berücksichtigt es auch, dass Wurzel- , Logarithmus- und Kehrwertfunktionen nur einen herzlich eingeschränkten Definitionsbereich haben ?

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mein TI89 gibt mir auch die Lösungen, ich bin aber an den Rechenschritten interessiert. habe Basiswechsel angewendet, dann den Bruch als summe im Logarithmus zusammengefasst. dann bleibt aber die erste Klammer als Potentz  und wie bekomme ich dann den log weg?

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die basen des log sind einmal 13 und das andermal 31. so wie ich es geschrieben habe.

Es ist meistens ja ziemlich wurscht durch was man dividiert um auf Null zu kommen, der Zähler ist dann immer Null.

Answer 1

Multipliziere mit dem Nenner.

Dann bleibt ein Produkt mit zwei Faktoren.

Wenn einer der Faktoren Null ist, ist das Produkt Null.

Hinterher noch die Probe machen, um zu gucken, ob der Nenner Stress macht.

:-)

Comments

wäre es möglich mir bitte die schritte zu zeigen

Answer 2

dividiere die Gleichung durch ln 31 / ln 13

\( \frac{(\tan (x)+\sqrt{3}) \ln \left(2 \sin ^{2}(x)\right)}{\ln (\sqrt{2 \cos (x)})}=0 \)

multipliziere mit dem Nenner

\( (\tan (x)+\sqrt{3}) \ln \left(2 \sin ^{2}(x)\right) =0 \)

Satz vom Nullprodukt....

Comments

wo bleibt denn dann ln31/ln13

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Das wird gekürzt mit ln 31 / ln 13 was vom Basiswechsel auf e in der Gleichung steht.

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ok, da komme ich noch mit. was passiert dann mit dem log? wie komme ich an das x? oder reicht es wenn die klammer nach dem log 1 wird und die davor 0. über die angabe etwas ausführlicher schritte würde mich mich sehr freuen. vielen dank

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reicht es wenn die klammer nach dem log 1 wird und die davor 0

Genau so, ja. Wenn der erste Faktor = 0 wird, dann hat man die oben im Kommentar zur Frage genannte dritte Lösung. Und wenn der zweite Faktor = 0 weil das Argument vom Logarithmus = 1, dann hat man die erste und zweite Lösung.

Und das \( \quad n \in \mathbb{Z} \) kommt, weil die Winkelfunktionen periodisch sind.