Beweis/Widerlegung von Aussagen über den Vektorraum einen Körpers

Question

Aufgabe: Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Gegeben sei ein System v1, v2, . . . , vn
von Vektoren in V . Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

(a) Gibt es ein linear unabhängiges System von Vektoren w1, w2, . . . , wn in V und
Skalare ci ∈ K \ {0} mit vi = ciwi für i = 1, 2, . . . , n, dann ist das System
v1, v2, . . . , vn ebenfalls linear unabhängig.

(b) Falls vn ∈/ Lin(v1, v2, . . . , vn−1), dann ist das System v1, v2, . . . , vn linear
unabhängig.

(c) Das System v1, v2, . . . , vn ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes echte
Teilsystem linear unabhängig ist.

(d) Wenn das System v1, v2, . . . , vn linear unabhängig ist, dann auch das System
v1 + cvi, v2, v3, . . . , vn für jedes c ∈ K und i ∈ {2, 3, . . . , n}.

…

Problem/Ansatz:Ich weiß nicht wie ich die Aussagen vernünftig beweise/widerlege

Answer 1

Nimm am besten die Definition

v1,v2,...,vn lin unabhängig

<=> Für alle x1,...,xn ∈ K gilt
       x1v1+...+xnvn = 0-Vektor ==> x10...=xn=0

a)  Sei ein unabhängiges System von Vektoren w1, w2, . . . , wn in V und
Skalare ci ∈ K \ {0} mit vi = ciwi für i = 1, 2, . . . , n,

und seien x1,...,xn ∈ K und   x1v1+...+xnvn = 0-Vektor

==>  (einsetzen)   x1c1w1+...+xncnwn = 0-Vektor

Da w1, w2, . . . , wn lin. unabh. ==>  xici = 0 für alle i = 1, 2, . . . , n,

Da alle ci ≠0 sind folgt xi=0  für alle i = 1, 2, . . . , n,

Also sind v1,v2,...,vn lin unabhängig.

b) falsch: Wähle die v1,..,vn-1 schon linear abhängig

c) falsch : Betrachte in R^3  ( 1;0;0) und (1;1;0) und (0;1;0)

"echtes" Teilsystem heißt ja wohl: höchstens 2 Stück. Die sind hier

immer lin. unabhängig, aber alle drei nicht.

d) kannst du so ähnlich beweisen wie a)

Comments

warum kann ich bei b dann einfach sagen, dass wenn vn ∉ Lin(v1,...,vn-1) das nicht bedeutet, dass das system v1 bis vn linear unabhängig ist?

---

Wenn z.B. v2 = 2* v1 ist, ist es das nicht.

---

ah okay, danke