Quadratische Gleichung mit Parameter? Wurzel? Parameter?

Question

Aufgabe:

Ich hätte noch eine Frage bei meiner Hausaufgabe zum Thema quadratischer Gleichungen mit Parametern!

Das Bsp. lautet :

ax²- (a² + 1) * x + a = 0

Ich bin so weit gekommen:

x_1,2 = a²+1 ±√(a⁴+6a²+1)

Was kommt heraus wenn ich die Wurzel ziehe?

Comments

Du kannst umformen zu:

x_{1,2} = a^2+1 ±√((a^2+3)^2 + 8))

Mehr geht aber nicht. Wie lautet die Aufgabe? Sollst du die Anzahl der Nullstellen berechnen?

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Löse zuerst die Gleichung allgemein und dann die Ergebnisse für x1 und x2 angeben.

Answer 1

$$ax^2- (a^2 + 1) * x + a = 0$$$$x^2- (a^2 + 1) /a* x +1  = 0$$$$x_1=(a^2 + 1) /2a+1/2a\sqrt{a^4+2a^2+1-4a^2  } $$$$x_1=(a^2 + 1) /2a+1/2a\sqrt{a^4-2a^2+1 } $$$$x_1=(a^2 + 1) /2a+1/2a\sqrt{(a^2-1)^2 } $$$$x_1=(a^2 + 1) /2a+(a^2-1)/2a$$$$x_1=a$$$$x_2=(a^2 + 1) /2a-(a^2-1)/2a$$

$$x_2=1/a$$

Comments

Dankeschön, aber wird nicht aus der Rechnung: -4*a*-a , positiv 4a?

Answer 2

a•x^2- (a^2 + 1) * x + a = 0|:a

x^2  -   \( \frac{a^2 + 1}{a} \)  •  x  =  - 1

( x -   \( \frac{a^2 + 1}{2•a} \) ) ^2    =  - 1    +   (  \( \frac{a^2 + 1}{2•a} \) ) ^2    =  \( \frac{ a^2}{4} \) +  \( \frac{ 1}{4a^2} \)   - \( \frac{ 1}{2} \)

x₁ =   \( \frac{a^2 + 1}{2•a} \) + ( \( \frac{ a^2}{4} \) +  \( \frac{ 1}{4a^2} \)  - \( \frac{ 1}{2} \))^ \( \frac{ 1}{2} \)

x₂  =  \( \frac{a^2 + 1}{2•a} \) - ( \( \frac{ a^2}{4} \) +  \( \frac{ 1}{4a^2} \)  - \( \frac{ 1}{2} \))^ \( \frac{ 1}{2} \)

Das sind die beiden Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von a.

mfG

Moliets