Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags? Kunstdünger/Naturdünger

Question

Aufgabe:

Ein Ackerbau wird mit x1 Einheiten Naturdünger rund mit x2 Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

E = f(x₁ ,x₂ ) = 13x₁^0,64 x₂^0,25

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 13 Einheiten Naturdünger und 12 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 3,5% mehr Naturdünger und 3,7% weniger Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Problem/Ansatz:

a)

f1' (x1,x2) = 8,32x₁^-0,36   -> 3,30448

f2' (x1,x2) = 0,25x₂^-0,75   -> 0,03878

Delta f'(x1,x2) = 3,0448 * (13*0,035) + 0,03878 * (12*-0,037) = 1,4863

b) f(13; 12) = 124,9288

f(13,455; 11,556) = 126,5117

=> 1,583

Wo liegt hier mein Fehler?

Vielen Dank!

Answer 1

Du hast auch nur Schwierigkeiten beim Gradienten. b) sieht gut aus.

a)

f'(x, y) = [8.32·y^0.25/x^0.36, 3.25·x^0.64/y^0.75]
f'(13, 12) = [6.150338670, 2.602682379]
f'(13, 12)·[13·0.035, 12·(-0.037)] = 1.642813118

b)

f(13·(1 + 0.035), 12·(1 - 0.037)) - f(13, 12) = 1.582978781