Integrale lösen: ∫(x+2)/(x^2+2x+2) dx und ∫e^{√x}/(√x) dx

Question

1.)  ∫e^{√x}/(√x) dx

2.)  ∫(x+2)/(x²+2x+2) dx

 

Weiß jemand wie man diese Integrale zu lösen hat? Bitte mit Erklärung von den Schritten, ich bin noch nicht so gut im lösen von Integralen.

Comments

Tipp:

Substituiere

u=√x
u' = 0.5/√x =  du/dx    → 1/√x dx = 2 du

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Die zweite Substitution dürfte nicht zum Ziel führen?

Zumindest nicht schnell... Die 2 bei (2x+2) dx = dv stört.

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Habe ich inzwischen auch bemerkt.

Answer 1

Hi,

Für ersteres nutze das Hilfsmittel der Substitution:

1.)  ∫e^√x/(√x) dx

√x = u ---> du = 1/(2√x) dx

 

Also

2∫e^u/√(x) 2√(x) du = 2∫e^{u} du = 2e^{√x} + c

 

2.

Splitte auf (x+2 = x+1 + 1)

(x+2)/(x^2+2x+2) = (2x+2)/(2(x^2+2x+2)) + 1/(x^2+2x+2)

Das Aufsplitten ist deshalb sinnvoll, da nun ersterer Summand die Form f'/f trägt und die Integration davon der Logarithmus ist.

1/2∫(2x+2)/(x^2+2x+2) + ∫1/(x^2+2x+2) = 1/2ln(x^2+2x+2) + ∫1/(x^2+2x+2)

 

Bei letztem Summanden bringe das auf die Form 1/(u^2+1)

--> (x^2+2x+2) = x^2+2x+1+1 = (x+1)^2+1 und mit u = (x+1) ---> u^2+1

∫1/(x^2+2x+2) dx = 1/(u^2+1) du = arctan(u) + c

 

Insgesamt hast Du also:

∫(x+2)/(x²+2x+2) dx = 1/2ln(x^2+2x+2) + arctan(x+1) + c

 

Grüße