Wurzelgleichungen lösen, z.B.: \(\sqrt{7+x} = x\)

Question

Hier mal etwas für Zwischendurch:

$$ \sqrt{7+x} = x $$$$ \sqrt{7+\sqrt{7+x}} = x $$$$ \sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+x}}} = x $$Die zweite Gleichung wurde schon hier behandelt:

https://www.mathelounge.de/475866/losen-sie-die-folgende-aufgabe-%E2%88%9A-7-%E2%88%9A-7-x-x

Zur Diskussion stelle ich die erste und die dritte Gleichung.

Answer 1

Stell dir vor wir haben für √(7 + x) = x die Lösung x gefunden.

Dann darf ich ja √(7 + x) durch x ersetzen, weil die Ausdrücke gleich sind.

Wenn ich jetzt in

√(7 + √(7 + x)) = x

die innere Wurzel durch x ersetze dann habe ich

√(7 + x) = x

Hier muss aber ja die Lösung exakt wieder die selbe Sein wie die zuerst gefundene. 

D.h. auch bei der 3. Gleichung können wir davon ausgehen das unsere Lösung passt.

Comments

Ja, das hat was für sich. Und das könnte man jetzt immer so weiter...

Das bedeutet aber auch, dass die Gleichung in der anderen frage eben auch noch ganz anders hätte gelöst werden können als wir das heute Nachmittag gemacht haben!

Answer 2

schöne Aufgabe!

erste kann man ausrechnen:

7+x=x^2

--> x=1/2+√29 /2

Das erinnert irgendwie stark an die Lösung der zweiten Gleichung.

Wie von Zauberhand löst es auch die dritte Gleichung, da  dann √(7+x)=x gilt und man letztendlich immer auf die erste Gleichung zurückkommt.

Weitere Lösungen sollte es nicht geben, da linke und rechte Seite jeweils streng monoton wachsende Funktionen darstellen.

Comments

Ja, und die Betrachtungen hier zeigen auch, dass es bisweilen nützlich sein kann, vor dem Quadrieren mal ein wenig nachzudenken...

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"Weitere Lösungen sollte es nicht geben, da linke und rechte Seite jeweils streng monoton wachsende Funktionen darstellen."

Wenn ich mich nicht irre können auch zwei streng monoton wachsende Funktionen mehrere Schnittpunkte haben.

Bsp. y = x und y = x^3.

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Jop stimmt, liegt wohl daran dass die Wurzel auf jedenfalls schwächer wächst als der lineare Term.

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Wobei ich die Variante: 7 = x² - x, besser finde denn wir haben x isoliert

$$7={ x }^{ 2 }-x\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad |\quad -7\\ 0={ x }^{ 2 }-x-7\qquad \qquad \qquad \qquad |\quad p\quad =\quad -1,\quad q\quad =\quad -7\\ x=-\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt { { \left( \frac { p }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }-q } \\ x=-\frac { -1 }{ 2 } \pm \sqrt { { \left( \frac { -1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }-(-7) } \\ x=\frac { 1 }{ 2 } \pm \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } +7 } \\ x=\frac { 1 }{ 2 } \pm \sqrt { \frac { 29 }{ 4 }  } \\ x=\frac { 1\pm  \sqrt { 29 }  }{ 2 } \quad $$

Nochmal die volle Rechnung :D 
nur komm ich da nicht auf die Lösung :D

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Auf welche Lösung kommst du nicht ?

1/2 - √29/2 = -2.19258240 (keine Losung der Wurzelgleichung)

1/2 + √29/2 = 3.19258240 (Lösung der Wurzelgleichung) 

Auf die Lösung kam man doch auch in https://www.mathelounge.de/475866