Berechnen sie die Ableitung der Funktion mit f(x)=-3x^2 an der Stelle x0

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Ableitung der Funktion mit f(x)=-3x^2 an der Stelle x0

1. x0 = 1 2. x0 = 2 3. x0 = 3 4. x0 = 4

Problem/Ansatz:

ich verstehe leider nicht, was ich genau machen soll und wie ich das tun soll. Ein ausführlicher Rechenweg ( und Ergebnis) würde sehr helfen.

Answer 1

Hallo,

du könntest einfach mit der Potenzregel f '(x) = -3·2x = -6x (#) bestimmen und dann für x jeweils die Zahl x₉ einsetzen und ausrechnen (z.B: f '(4) = -6·4 = -24) . Ich vermute aber, dass du die Definition der Ableitung benutzen sollst.

\( f '(x_0)= \lim_{x \to x_0} \dfrac { f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 } \)

mit \(f(x) = -3x^2\)  erhält man:

\( \textcolor{green}{f '(x_0)}= \lim_{x \to x_0} \dfrac { f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 }=  \lim_{x \to x_0} \dfrac { -3x^2+3x_0^2}{ x-x_0 } \)

\(=\lim_{x \to x_0} \dfrac { -3·(x^2-x_0^2)}{ x-x_0 }=\lim_{x \to x_0} \dfrac { -3·(x-x_0)·(x+x_0))}{ x-x_0 }\)

                                                        [3. binomische Formel]

\(=\lim_{x \to x_0} -3·(x+x_0)=-3·(x_0+x_0)=-3·2x_0\textcolor{green}{=-6x_0}\)   

Jetzt musst du nur noch die Zahlen für x₀ einsetzen und ausrechnen.

---------------------------------

(#) Nachtrag: Potenzregel: [ xⁿ ] ' = n · x^n-1

Gruß Wolfgang

Answer 2

      mfG

Moliets

Text erkannt:

Lösung mittels der \( h \) Methode:
\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
\( f(x)=-3 x^{2} \)
\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-3(x+h)^{2}+3 x^{2}}{h}= \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-3 x^{2}-6 x h-3 h^{2}+3 x^{2}}{h}= \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-6 x h-3 h^{2}}{h}= \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0}-6 x-3 h \rightarrow-6 x \)
\( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=-6 x_{0} \)
Nun kannst du die Zahlen von \( x_{0} \) einsetzen.