Gesucht ist die (reelle) Potenzreihe der Funktion f(x) = x /(x^2-3x+2) im Entwicklungspunkt x0 = 0.

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!


Aufgabe:
Gesucht ist die (reelle) Potenzreihe der Funktion f(x) = x /(x^2-3x+2) im Entwicklungspunkt x0 = 0.

a) Bestimmen Sie die Nullstellen x1, x2 2 R von x^2 -3x + 2 und zerlegen Sie die
Funktion f in die Summe
f(x) = a/ (x -x1) + b/ (x -x2)  mit geeigneten Koezienten a, b ∈ R.

b) Bestimmen Sie die Reihendarstellung der Funktion f mittels der geometrischen
Reihe.

c) Fur welche x ∈ R konvergiert die Reihe?

Mein Ansatz:
a)
Die Nullstellen der Funktion x^2−3x+2 können durch die Lösung der quadratischen Gleichung gefunden werden. Die Lösungen sind x1=1 und x2=2.

Die Funktion f(x) kann dann als Summe von zwei Funktionen geschrieben werden:

f(x)=a / (x−x1) + a / (x−x2b)

Um die Koeffizienten a und b zu finden, setzen wir x=x1 und x=x2 in die obige Gleichung ein und lösen nach a und b. Das ergibt a=−1 und b=1.

b) Die Funktion f(x) kann nun als geometrische Reihe dargestellt werden:

f(x)= −(1 / (x−1) +´1 / (x−2))=− ∞∑n=0 (x−1)^n ∞∑n=0 (x−2)^n

c) Die Reihe konvergiert für x∈(1,2). Dies liegt daran, dass die geometrische Reihe nur dann konvergiert, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist. In diesem Fall sind die Quotienten (x−1) und (x−2), also muss x zwischen 1 und 2 liegen.

Answer 1

f(x)=a / (x−x1) + a / (x−x2b)

Der Ansatz stimmt nicht. Ich weiß nicht, ob du dich da nur vertippt hast. Im zweiten Zähler gehört das b hin und dort im Nenner nicht.

setzen wir x=x1 und x=x2

Das wäre nicht definiert. Du meinst \(x_1=1\) und \(x_2=2\).

Das ergibt a=−1 und b=1.

Nein. Es kommt \(a=-1\) und \(b=2\) raus.

f(x)= −(1 / (x−1) +´1 / (x−2))=− ∞∑n=0 (x−1)n ∞∑n=0 (x−2)n

Das stimmt dann vorne und hinten nicht. Es ist

\(f(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{2}{2-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\). Beachte, dass hier die Vorzeichen umgekehrt wurden, um die Darstellung \(\frac{1}{1-q}\) für die geometrische Reihe zu haben. Der erste Summand liefert dann die Reihe \(\sum x^n\) und der zweite Summand liefert die Reihe \(\sum (\frac{x}{2})^n \). Insgesamt also

\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-2^{-n})x^n\).

Das konvergiert natürlich nur für \(|x|<1\).

Answer 2

Von der groben Idee her ist Dein Vorgehen richtig, aber im Detail stimmt einiges nicht.

a) Deine Zerlegung stimmt nicht: \(\frac1{x-2}-\frac1{x-1}=\frac1{x^2-3x+2}\). Du hast die Formeln auch nicht gut lesbar geschrieben (bitte vor dem Posten Korrektur lesen!). Mach auch mit der gefundenen PBZ die Probe, bevor Du weiterrechnest (um unnötige Arbeit zu vermeiden).

b) Beachte \(\sum\limits_{i=0}^\infty q^i =\frac1{1-q}\) für \(|q|<1\).

Finde also ein \(q\) so, dass \(2(1-q)=2-x\) ist, um die eine Reihe zu erzeugen.

c) Wenn Du beide Reihen hast, müssen für die Konvergenz beide verwendeten \(q\)'s die Bedingung \(|q|<1\) erfüllen. Bilde daraus die Schnittmenge um den Konvergenzbereich für die gesamte Reihe zu finden.