Entscheiden, ob Geraden parallel bzw. identisch sind

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die Gerade g und h parallel bzw. identisch sind.

\(g:\quad \vec{x}  = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix}\)

\(h:\quad \vec{x}  = \begin{pmatrix} 3\\6\\4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 4\\8\\2 \end{pmatrix}\)

Problem/Ansatz:

Wie ist der lösungs weg zu dieser rechnung

Answer 1

1. Prüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

2. Mache mit dem Stützvektor der einen Geraden eine Punktprobe mit der anderen Geraden. Wenn der Punkt drauf liegt, müssen die Geraden identisch sein, sonst nicht.

Kommst du damit schon weiter? Weißt du, wie man eine Punktprobe macht?

Answer 2

Hallo,

mache die Punktprobe: Liegt der Aufpunkt/Ortsvektor von g auf h bzw. liegt der Aufpunkt/Ortsvektor von h auf g?

Gruß, Silvia

Answer 3

Wenn Du Verwirrung vorbeugen willst, verwende kein dem x ähnliches Symbol für Multiplikation.

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren vielfache voneinander sind. Prüfe das.

Wenn das der Fall ist, können sie auch identisch sein. Dazu reicht es für einen beliebigen Punkt der einen Geraden zu prüfen, ob er auch auf der anderen liegt.

Answer 4

g: X = [1, 2, 3] + r·[2, 4, 1]
h: X = [3, 6, 4] + t·[4, 8, 2]

[4, 8, 2] = 2·[2, 4, 1]

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, damit sind die Geraden identisch oder parallel,

[1, 2, 3] + r·[2, 4, 1] = [3, 6, 4] --> r = 1

Der Stützvektor der 2. Geraden liegt für r = 1 auf der ersten Geraden. Damit sind die Geraden identisch.