Entwicklungspunkt einer Potenzreihe - Grenzwert bestimmen

Question

Aufgabe:

3. Geben Sie den Entwicklungspunkt und den Konvergenzbereich für die folgende Potenzreihe an:
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{4^{n}}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{n} . \)
Geben Sie den Grenzwert der Reihe im Entwicklungspunkt an, sofern er existiert.

Problem/Ansatz: Die letzte Teilfrage finde ich verwirrend.  Also ich komme mit dem Quotientenkriterium auf den Radius unendlich und somit auf den Konvergenzbereich IR. Ist das mit den Entwicklungspunkt -1/2 und dann dort für x einsetzen?

Answer 1

Ich komme auf Konvergenzradius 0 (über \( \rho=\lim \frac{a_n}{a_{n+1}}\)).

Ja, Entwicklungspunkt ist \(-0.5\) und den Wert der Reihe an dieser Stelle erhält man durch Einsetzen.

Comments

Achso stimmt, also dann x = -1/2 also (2n)!/4^n  * (0)^n also insgesamt 0 als Grenzwert oder?

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Nein, setze ein und schreibe die Summe hin (die ersten Summanden), dann siehst Du's schon. Beachte \(0^0=1\).

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Ah stimmt, habe 0^0 vergessen, vielen Dank