Lösungsmenge Logarithmus

Question

Aufgabe:

\( \begin{array}{l} 3^{x+2}=2^{x+3} \\ \Leftrightarrow \ln \left(3^{x+2}\right)=\ln \left(2^{x+3}\right) \\ \Leftrightarrow(x+2) \cdot \ln (3)=(x+3) \cdot \ln (2) \\ \Leftrightarrow x=\frac{3 \ln (2)-2 \ln (3)}{\ln (3)-\ln (2)} \approx-0,2905 \\ (\ln (3)-\ln (2) \neq 0 .)\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen,

ich verstehe leider den Schritt von der 2 auf die 3 Äquivalenzumformung nicht so ganz. Es wäre super hilfreich, wenn mir jemand den Schritt noch einmal in einem Zwischenschritt aufschreiben könnte oder mir erklären könnte, welche Rechenschritte dort durchgeführt wurden?

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

Es handelt sich hier um ein Logarithmengesetz:

ln (a^r)= r *ln (a)

Ist das ganze Argument mit einer Potenz versehen, dürfen wir deren Exponenten multiplikativ vor den Logarithmus ziehen.

Das Logarithmusgesetz habe ich verstanden und die Aufgabe bis zu der Umformung:

(x+2)*ln(3) = (x+3)*ln(2) auch.

Allerdings ist mir der Schritt danach unklar.

(x+2)*ln(3) = (x+3)*ln(2) ->multipliziere aus:

x*ln(3) +2 ln(3) = x*ln(2) +3 ln(2)  | - x ln(2)

x*ln(3) +2 ln(3) -x ln(2) = 3 ln(2)    | - 2 ln(3)

x*ln(3)  -x ln(2) = 3 ln(2) -2 ln(3)    | x ausklammern

x (ln(3)  - ln(2)) =  3 ln(2) -2 ln(3)  | : (ln(3)  - ln(2))

x=  (3 ln(2) -2 ln(3)) /(ln(3)  - ln(2))

Comments

Hi Grosserloewe,

Danke für deine Antwort. Das Logarithmusgesetz habe ich verstanden und die Aufgabe bis zu der Umformung:

(x+2)*ln(3) = (x+3)*ln(2) auch.

Allerdings ist mir der Schritt danach unklar.

Warum lässt sich das zu dem oben angegebenen Bruch umschreiben?

Lg.

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habs oben hineingeschrieben

Answer 2

ln(a^b) = b*ln(a)

b entspricht (x+2)

alternativ;

3^x*3^2 = 2^x*2^3

(3/2)^x = 2^3/3^2 = 8/9

x*ln(3/2) = ln(8/9)

x = 

Answer 3

Übrigens gibt es nicht nur ein Verfahren solch eine Gleichung zu lösen. Entwickel also einfach deine eigene Methode. Ich würde das wie folgt lösen

$$3^{x+2} = 2^{x+3} \newline 3^2 \cdot 3^x = 2^3 \cdot 2^x \newline 9 \cdot 3^x = 8 \cdot 2^x \newline \frac{3^x}{2^x} = \frac{8}{9} \newline \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{8}{9} \newline x = \frac{\ln(8/9)}{\ln(3/2)}$$

Die nächsten 2 Schritte kann man sich sparen. Die sind nur um dem Lehrer zu zeigen das man es kann.

$$x = \frac{\ln(8) - \ln(9)}{\ln(3) - \ln(2)} \newline x = \frac{3 \cdot \ln(2) - 2 \cdot \ln(3)}{\ln(3) - \ln(2)}$$

Comments

in der 5. Zeile fehlt die Klammer um 3/2.

Es muss (3/2)^x lauten.

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in der 5. Zeile fehlt die Klammer um 3/2.

Es muss (3/2)x lauten.

Stimmt. Ich habe die Klammern ergänzt.

:-)

Answer 4

Hallo,

ich habe drei Zeilen ergänzt.

\( \begin{array}{lrcl} &3^{x+2}&=&2^{x+3} \\ \Leftrightarrow& \ln \left(3^{x+2}\right)&=&\ln \left(2^{x+3}\right) \\ \Leftrightarrow&(x+2) \cdot \ln (3)&=&(x+3) \cdot \ln (2)   \\[5mm] \Leftrightarrow& x \cdot \ln (3) +2\cdot\ln(3)&=&x \cdot \ln (2) +3\cdot\ln(2)\\ \Leftrightarrow& x \cdot \ln (3) -x\cdot\ln(2)&=&3 \cdot \ln (2) -2\cdot\ln(3) \\ \Leftrightarrow& x \cdot (\ln (3) -\ln(2))&=&3 \cdot \ln (2) -2\cdot\ln(3)\\[5mm] \Leftrightarrow& x=\frac{3 \ln (2)-2 \ln (3)}{\ln (3)-\ln (2)} &\approx&-0,2905\end{array} \)