Einen Logarithmus zusammenfassen

Question

Aufgabe: Fasse den Term zu einem Logarithmus zusammen:

2*log₈(a+b)+log₄(a-b) - log₂ ( wurzel a²-b²)

Dann habe ich Basiswechsel gemacht:

2* log₂(a+b) / log₂(8) + log ₂(a-b)/ log ₂(4)   -log 2 (wurzel a²-b²)

Und jetzt komm ich nicht mehr weiter.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}2\log_8(a+b)+\log_4(a-b)-\log_2(\sqrt{a^2-b^2})$$$$=2\frac{\ln(a+b)}{\ln(8)}+\frac{\ln(a-b)}{\ln(4)}-\frac{\ln(\sqrt{a^2-b^2})}{\ln(2)}$$$$=2\frac{\ln(a+b)}{\ln(2^3)}+\frac{\ln(a-b)}{\ln(2^2)}-\frac{\ln\left((a^2-b^2)^{\frac12}\right)}{\ln(2)}$$$$=2\frac{\ln(a+b)}{3\ln(2)}+\frac{\ln(a-b)}{2\ln(2)}-\frac{\frac12\ln(a^2-b^2)}{\ln(2)}$$$$=2\frac{\ln(a+b)}{3\ln(2)}+\frac{\ln(a-b)}{2\ln(2)}-\frac{\ln((a+b)(a-b))}{2\ln(2)}$$$$=2\frac{\ln(a+b)}{3\ln(2)}+\frac{\ln(a-b)}{2\ln(2)}-\frac{\ln(a+b)+\ln(a-b)}{2\ln(2)}$$$$=\frac{\frac23\ln(a+b)}{\ln(2)}-\frac{\frac12\ln(a+b)}{\ln(2)}$$$$=\log_2\left((a+b)^{\frac23}\right)-\log_2\left((a+b)^{\frac12}\right)$$$$=\log_2\left(\frac{(a+b)^{\frac23}}{(a+b)^{\frac12}}\right)=\log_2\left((a+b)^{\frac16}\right)=\frac16\log_2(a+b)$$