Wie berechnet man mit Hilfe der Integralrechnung den Umfang eines Kreises?

Question

Wie Berechne ich mit Hilfe der Integralrechnung den Umfang eines Kreises?

diese Formel kenne ich um das Volumen zu berechnen  V= π\( \int\limits_{0}^{\infty} \)( f(x))² dx

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Wie Berechne ich mit Hilfe der Integralrechnung den Umfang eines Kreises?

Ich weiß ja nicht, worauf Du hinaus willst. In Polarkoordinaten \(r,\,\varphi\) hat ein Kreis mit Radius \(R\) die Gleichung $$r(\varphi)=R$$Und sein Umfang \(U\) ist dann die Summe aller \(\text d\varphi\):$$U= \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r(\varphi)\,\text d\varphi = \left.R\varphi\right|_{\varphi=0}^{2\pi} = 2\pi R - 0= 2\pi R$$Ist es das, was Du suchst?

Answer 1

Eine von vielen Möglichkeiten ist, den Umfang aus dem Radius zu berechnen, den Radius aus dem Flächeninhalt zu berechnen, und den Flächeninhalt eines Halbkreises aus \( \int\limits_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx\) zu bestimmen.

Man kann die Bogenlänge eines Halbkreises natürlich auch unter Verwendung desjenigen Integrals ermitteln, welches für die direkte Berechnung einer Bogenlänge gedacht ist:

\( l=\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x \)

Es kommt einfach darauf an, ob du für den jeweiligen Anwendungsfall die passende Stammfunktion parat hast.

Comments

Wenn ich \( \int\limits_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx\) kann, dann einfach  \(2·\frac{d}{dr} \int\limits_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx\)  bilden.

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\( \int\limits_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx\)

Wie komme ich damit dann auf U=2πr ?

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d/dr bedeutet "Ableitung bilden" .