Stetig Funktion Es sei I=[0,1] und es sei f:I→R stetig.

Question

Es sei I=[0,1] und es sei f:I→R stetig.
(a) Es gelte f(I)⊆I.Zeigen Sie,dass es ein x∈I gibt mitf(x)=x.

(b)Es gelte I⊆f(I).Zeigen Sie,dass es ein x∈I gibt mitf(x)=x.
Hinweis: Betrachten Sie für beide Aufgabenteile die Funktion g mit g(x) = f(x) − x.

Answer 1

a)  Es sei I=[0,1] und es sei f:I→R stetig.
   Es gelte f(I)⊆I.  ==>  f(0) ∈ [0,1]  und f(1)  ∈ [0,1]

 Mit g(x) = f(x) − x folgt g(0) = f(0) - 0 = f(0)  ∈ [0,1]

 also insbesondere g(0) ≥ 0

            und entsprechned g(1) = f(1) - 1    ≤ 0

Da g mit f auch stetig ist , gibt es nach dem Zwi.wertsatz

ein x ∈ [0,1] mit g(x)=0 also  f(x)-x = 0 also f(x)=x

Comments

und (b)???? haben Sie auch Idee ?

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I⊆f(I) ==>  0 ∈ f(I)  und 1 ∈ f(I) 

==>  ∃a∈I mit f(a)=0  und ∃b∈I mit f(b)=1

==>   g(a)≤0  und g(b)≥0

also analog zum 1. Teil gibt es ein x mit g(x)=0 .

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Warum ist g(1) = f(1) - 1    < 0? Und könntest du vielleicht bitte auf b etwas näher eingehen?

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Laut a) ist f(x)=x und setzt man da f(1) ein, erhält man die 1 als einen y-Wert. Setzt man in die Fkt. g(1) ein, hat man dann f(1)-1 , also 1-1 und das ist dann 0 und somit nicht kleiner als 0

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Es muss wohl in beiden Fällen ≤ bzw ≤ heißen.

Ich korrigiere das mal.

Und bei b) hat man ja

∃a∈I mit f(a)=0  und ∃b∈I mit f(b)=1.

Aus dem ersten etwa weiß man dann:

0≤a≤1 und f(a)=0  also g(a) =  f(a) - a = 0 - a ≤ 0

und entsprechend g(b) ≥ 0.