Gleichung mit Mittelwertsatz lösen

Question

Aufgabe:

$$f(x)=\sum \nolimits_{k=1}^{n} a_{k}cos(kx)  \text {  Zeigen sie dass f(x) im Intervall [0, pi] mindestens eine Nullstelle hat.}$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass die Funktion stetig sein muss weil sie ein Polynom ist und ich sie vlt mit Null gleichsetzen muss aber hab keine Ahnung wie ich genau den Mittelwertsatz darauf anwenden kann

Answer 1

Es gilt $$  \int_0^\pi f(x) dx = 0 $$ Da \( f \ne 0 \) und stetig ist, kann nicht gelten \( f(x) > 0 \) oder \( f(x)< 0 \) für alle \( x \in [0,\pi] \)

D.h. es muss Werte \( a, b \in [0,\pi]\) geben mit \( f(a) < 0 \) und \( f(b) > 0 \) also nach dem ZWS auch einen Wert \( \xi \in [0,\pi] \) mit \( f(\xi) = 0 \)