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Seien \( b>a \) und \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Zeigen Sie, dass dann die beiden folgenden Aussagen gelten.
(i)   Falls \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 \) gilt, so folgt die Existenz einer Zahl \( c \in[a, b] \) mit \( f(c)=0 \).
(ii)  Falls \( f(x) \geq \varepsilon>0 \) für alle \( x \in[a, b] \) und \( \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \) gelten, so folgt dass \( g \) in \( [a, b] \) eine Nullstelle besitzt.

Könnte ich das hier irgendwie mittels Mittelwersatz für Integrale zeigen? Wenn ja wie genau weiß gerade nicht wie ich das angehen soll..

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Hallo

ja der MWS sagt das schon beinahe, da ja |b-a|≠0 oder wie habt ihr ihn aufgeschrieben?

beim 2 ten Teil den erweiterten MWS benutzen .

Gruß lul

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Sei \( J \subset \mathbb{R} \) nichttriviales Intervall, und sei \( f \in C^{0}(J) \).

(i) Dann existiert ein \( \xi \in J \), so dass
\( f(\xi)=\frac{1}{|J|} \int \limits_{J} f(x) \mathrm{d} x \)
gilt.

(ii) Sei \( p \in C^{0}(J) \) mit \( p \geq 0 \). Dann existiert ein \( \xi \in J \), so dass
\( \int \limits_{J} f(x) p(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int \limits_{J} p(x) \mathrm{d} x \)
gilt.

So ist er bei uns definiert. Weiß leider nicht wie ich das anwenden soll.

Weiß leider nicht wie ich das anwenden soll.

Wenn Du eine Formel hast (Mittelwertsatz), in der \(\int_a^bf(x)dx\) vorkommt und die Aufgabe als Voraussetzung angibt \(\int_a^bf(x)dx=0\), dann finde ich Deine Bemerkung merkwürdig.

sage ich dann einfach:

1/b-a \( \int\limits_{a}^{\ b} \) f(x) dx = 0 für b - a≠

Hallo Torsten

Was ist jetzt , wen du statt ξ c schreibst im MWS?

wieso der unvollständige Kommentar?

lul

Ja, und das im Mittelwertsatz (i) verwenden.

Oh Gott jetzt verstehe ich es, Danke sehr stand da echt auf dem Schlauch, mein Fehler.

Und wie genau klappt das mit der zweiten Aussage?

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