Seien \( b>a \) und \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Zeigen Sie, dass dann die beiden folgenden Aussagen gelten.
(i) Falls \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 \) gilt, so folgt die Existenz einer Zahl \( c \in[a, b] \) mit \( f(c)=0 \).
(ii) Falls \( f(x) \geq \varepsilon>0 \) für alle \( x \in[a, b] \) und \( \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \) gelten, so folgt dass \( g \) in \( [a, b] \) eine Nullstelle besitzt.
Könnte ich das hier irgendwie mittels Mittelwersatz für Integrale zeigen? Wenn ja wie genau weiß gerade nicht wie ich das angehen soll..