"Halbieren" von Integralen in zwei gleichgroße Integrale/Mittelwertsatz Integralrechnung

Question

Hallo,

ich hänge an einer Aufgabe und komme nicht weiter. :/

Zeige: ∃c∈[0,1] mit

\( \int\limits_{0}^{c} f(x) dx = \int\limits_{c}^{1} f(x) dx \)

Ich vermute die Aufgabe ist mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung zu lösen. Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Benutze den Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung.

F(c) - F(0) = F(1) - F(c)

2·F(c) - F(0) - F(1) = 0

Für c = 0

2·F(0) - F(0) - F(1) = F(0) - F(1) = W

Für c = 1

2·F(1) - F(0) - F(1) = F(1) - F(0) = -W

Wenn wir nicht den Trivialfall haben das W = 0 ist und damit unsere Gleichung eh erfüllt ist haben wir zum einen einen positiven und zum anderen einen negativen Wert. Und der Nullstellensatz besagt jetzt das bei einer stetigen Funktion zwischen einem positiven und einem Negativen Wert immer auch an einer Stelle dazischen der Wert 0 angenommen wird.