Ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung und die durchschnittliche Steigung das Gleiche?

Question

Ich verstehe den Unterschied zwischen dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und der durchschnittlichen Steigung nicht.

Sagen wir ich habe die Funktion f(x) = 4x und berechne hier die durchschnittliche Steigung zwischen x = 0 und x = 5, dann kommt folgendes daraus:

\( \frac{20-0}{5-0} \) = 4

Sprich die durchschnittliche Steigung liegt hier natürlich bei 4, da es sich ja auch um eine lineare Funktion handelt.

Nun könnte ich das ganze aber auch mit dem Mittelwertsatz berechnen:

\( \frac{1}{5} \) * \( \int\limits_{0}^{5} \)   f´(x) dx und auch hier erhalte ich dann 4

Heißt das, dass der Mittelwertsatz der Integralrechnung an sich nur die durchschnittliche Steigung der Stammfunktion in dem Intervall [a;b] ist?

Comments

Korrekt, kannst du auch selbst beweisen, in dem du allgemeinen Mittelwertsatz aufschreibst, HDI anwendest und dann dies direkt der durchschnittlichen Steigung deiner Stammfunktion entspricht. Funktioniert natürlich im Allgemeinen nur bei stetigen Funktionen.

Answer 1

Hallo

eigentlich hat der MWS wenig mit der Steigung zu tun, sondern gibt einen Wert für ein bestimmtes Integral. Das ist natürlich für einfache Integrale, wo man die Stammfunktion sehr leicht hinschreiben kann nicht sehr interessant, aber wenn das Integral keine einfache Stammfunktion hat schon.

dass du wenn du f' integrierst wieder f kriegst hat mit dem MWS nur insofern zu tun, dass man mit dem MWS genau das beweisen kann,

wie habt ihr denn dem MWS definiert? eigentlich sagt er, dass man das es ein x1  in dem Intervall [a,b] gibt so dass man Integral von a bis b durch f(x1)*(a-b) ersetzen kann .

Gruß lul

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danke für die Antwort! Also wir haben eigentlich nur die Formel gelernt (soweit ich mich erinnere). Muss auch dazu sagen, dass es für das Abitur ist und nur sehr selten dran kommt. Das mit dem x1 sagt mir leider gar nichts :(

Answer 2

Aloha :)

Du verwechselst das mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Dieser besagt, dass es in einem Intervall \([a;b]\) einen Punkt \(x_0\in(a;b)\) gibt, an dem die momentanten Änderung gleich der mittleren Änderung ist:$$f(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$Wenn du also auf einer Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h unterwegs bist, muss es auch einen Punkt geben, an dem du exakt diese 100km/h fährst.

Der Miittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass es ein \(x_0\in[a;b]\) gibt, sodass die Fläche unter der Kurve in diesem Intervall durch ein Rechteck der Breite \((b-a)\) und der Höhe \(f(x_0)\) beschrieben werden kann:$$\int\limits_a^bf(x)dx=f(x_0)\cdot(b-a)$$

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Du verwechselst das

sofern man da überhaupt von Verwechslung sprechen kann :
Beruht denn die Aussage f(b) - f(a)  =  f'(x₀)·(b-a)  auf dem MWS der D.rechnung angewandt auf die Funktion f oder ist es
f(b) - f(a)  =  _a∫^b f'(x) dx =  f'(x₀)·(b-a)  also der MWS der I.rechnung angewandt auf die Funktion f' ?