Vollständige Funktionsanalyse - Horizontale Asymptote

Question

Aufgabe:

Vollständige Funktionsanalyse:

f(x) = \( \frac{x^3-2x}{x^2-4} \)

Problem/Ansatz:

domf = IR \ (-2;+2)

Eine vertikale Asymptote gibt es bei x = +2 und x = - 2

Jetzt kommt meine Frage; bei der horizontalen Asymptote muss ich den Grenzwert nach +∞ und -∞ gehen lassen, wenn ich dies aber jetzt bei der Funktion f(x) = \( \frac{x^3-2x}{x^2-4} \) mache, dann habe ich nach +∞ \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = \( \frac{+∞-∞}{+∞} \) und nach -∞ \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = \( \frac{-∞+∞}{+∞} \). Jetzt muss ich doch die Funktion vereinfachen um \( \frac{∞}{∞} \) zu haben, wo ich dann die höchsten Hochzahlen rausnehmen muss, oder?

Den Rest der Analyse kann ich alleine.

Answer 1

Aloha :)

Habt ihr die Asymptote als Konstante oder als Funktion definiert? Ich frage wegen

$$f(x)=\frac{x^3-2x}{x^2-4}=\frac{x^3\,\overbrace{-4x+2x}^{=-2x}}{x^2-4}=\frac{x^3-4x}{x^2-4}+\frac{2x}{x^2-4}=\frac{x(x^2-4)}{x^2-4}+\frac{2x}{x^2-4}$$$$\phantom{f(x)}=x+\frac{2x}{x^2-4}$$

Für \(x\to\pm\infty\) verschwindet der Bruch und es dominiert die Asymptote \(f_{\pm\infty}(x)=x\).

Die Asymptote ist hier also kein konstanter Wert, sondern eine Funkton. Das heißt, für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte kannst du die Funktion einfach durch \(f_{\pm\infty}(x)=x\) ersetzen.

Wenn ihr die Asymptote als Konstante definiert habt, gibt es außer den vertikalen Asymptoten bei \(x=\pm2\) keine weiteren.

Comments

Wir haben 3 Asymptoten: Die vertikale Asymptote als Konstante, die waagerechte Asymptote als Konstante und die schiefe/schräge Asymptote als Funktion. Ich habe immer Probleme bei der waagerechten Asymptote, wenn man den Fall (∞-∞)/(∞) oder (∞)/(∞-∞), was mache ich in diesem Fall. Ich denke, man muss immer so vereinfachen, dass man ∞/∞ hat und einfach die größte Hochzahl immer Zähler und Nenner rausholen kann und meistens lässt es sich dann kürzen, oder?

In diesem Falle gibt es ja keine waagerechte Asymptote, weil der Grenzwert der Funktion nach unendlich = unendlich ist. Aber wie finde ich das?

Wenn es keine waagerechte Asymptote gibt, gibt es meistens eine schräge Asymptote und bei dieser Funktion ist die y = x.

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Die vertikalen Asymptoten kannst du bei den Definitionslücken finden. Aber nicht jede Lücke ist auch eine vertikale Asymptote:$$f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}$$hat eine vertikale Asymptote bei der Definitionslücke \(x=2\). Bei der Definitionslücke \(x=1\) liegt keine vertikale Asymptote vor, weil man \((x-1)\) kürzen kann. Es handelt sich bei \(x=1\) um eine behebbare Lücke.

Die horizontalen Asymptoten sind die Grenzwerte der Funktion gegen \(\pm\infty\). Diese Funktion hier$$g(x)=\frac{x^3-2x}{x^2-4}$$geht für \(x\to\infty\) gegen \(\infty\) und für \(x\to-\infty\) gegen \(-\infty\). Also kannst du keinen Grenzwert angeben. Bei der Funktion:$$h(x)=\frac{2x^2+7}{3x^2-x}=\frac{2+\frac{7}{x^2}}{3-\frac{1}{x}}$$kannst du als horizontale Asymptote \(y=\frac{2}{3}\) identifizieren.

Die schräge Asymptote (wie hier in der Aufgabe) bekommst du durch Polynomdivision oder durch eine Umformung wie hier, dass der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms wird.

Answer 2

f ( x ) = (  x^3 -2x) / ( x^2 - 4 )
Wir schreiben die Funktion durch Polynom-
division anders
f ( x ) = x + 2*x / ( x^2 - 4)
lim x -> ± ∞ [ 2*x / ( x^2 - 4) ] = 0
entfällt also

Dir Funktion f ( x ) nähert sich immer
mehr der Funktion g ( x ) = x an.

Eine horizontale Asymptote gibt es nicht.