Es sei \( U \subset \mathbb{C} \) offen und \( \overline{B_{r}\left(z_{0}\right)} \subset U \) die abgeschlossene Kreisscheibe für ein festes \( r>0 . \) Weiterhin sei \( f: U \rightarrow \mathbb{C} \) eine holomorphe Funktion, die auf dem Kreisrand \( \left|z-z_{0}\right|=r \) durch \( |f(z)| \leq C \) beschränkt ist.
1) Nutzen Sie die Cauchy-Formel für Ableitungen, um die Abschätzung
$$ \left|f^{\prime}\left(z_{0}\right)\right| \leq \frac{C}{r} $$
herzuleiten.
2) Sei \( f \) auf ganz \( \mathbb{C} \) holomorph und beschränkt. Zeigen Sie, dass \( f \) dann konstant ist.
