welche der folgenden reihen sind kovergent und warum?

Question

Aufgabe:

welche der folgenden reihen sind kovergent und warum?

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{(1+1/k)^{k}}}$$

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{k+1}{\sqrt{k^{4}+k}}$$

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{k+1}{3^{k}}$$

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{k!}{k^{k}}$$

Problem/Ansatz:

Hallo kann mir jemand helfen diese aufgabe zu lösen.

Answer 1

1. Die Folge der Nenner geht gegen e. Und alle Nenner sind

kleiner als e, also die Brüche größer als 1/e und für k>2 ist das

jeweils größer als 1/k , also divergiert die Summe, da die

harmonische Reihe eine Minorante ist.

2. Die Summanden kann man abschätzen

$$\frac{k+1}{\sqrt{k^{4}+k}} = \frac{1+1/k}{\sqrt{k^{2}+1/k}}  $$

Zähler verkleinern und Nenner vergrößern.

$$\geq \frac{1}{\sqrt{k^{2}+k^2 }} = \frac{1}{k*\sqrt{2}}  $$

Und die zugehörige Reihe divergiert analog zur harmonischen Reihe.

Answer 2

Die Summanden der ersten Reihe bilden keine Nullfolge, Sie gehen gegen 1/e.

Die zweite kannst du m.H. der harmonischen Reihe abschätzen.

Dann solltest du auch mal das Quotientenkriterium versuchen.