Welche der folgenden Reihen sind konvergent? Berechnen Sie die Summe, falls möglich.

Question

Ich habe Probleme mit Reihen im allgemeine aber auch im speziellen mit dieser hier. 

 soweit komme ich, wobei mir nicht wirklich klar geworden ist wieso k bei 0 anfangen soll.  

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { (-2)^{ k-1 }+(-3)^{ k-1 } }{ { 2 }^{ 2k } }  } \quad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \left[ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ (-\frac { 1 }{ 2 } )^{ k }\quad -1 }  \right] \quad +\quad -\frac { 1 }{ 3 } \left[ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { -(\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ k }\quad -1 }  \right]  $$

meine eigentliche Frag ist aber eine andere in der Musterlösung geht es so weiter:

ich verstehe nicht woher die -1 im Nenner herkommt und wieso sich das k in Luft auflöst. 

$$-\frac { 1 }{ 2 } \left[ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 1\quad -\quad (-\frac { 1 }{ 2 } ) } \quad -1 }  \right] \quad +\quad -\frac { 1 }{ 3 } \left[ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ 1\quad -(-\frac { 3 }{ 4 } ) }  }\quad -1 }  \right] $$ 

Hat das vielleicht hiermit zutun, und die betrachten in der Musterlösung schon das Element an der stelle k₀ (a₀ )? Wenn das der Fall ist, wären meine fragen beantwortet. Könnte mir noch einer sagen unter welchem Schlagwort ich weitere Formeln dieser art finde? danke.

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ 0 }{ q }^{ k }\quad =\quad \frac { { a }_{ 0 } }{ 1-q }  } ,\quad q\quad <\quad 1$$

vielen dank das du für meine Frage  Zeit genommen hast  =) 

Answer 1

Hallo :-)

"ich verstehe nicht woher die -1 im Nenner herkommt"
Die -1 steht nicht im Nenner, die -1 muss jeweils hinter der Summe stehen.
Das kommt daher, weil der Index von k=1, auf k=0 geändert wurde, damit man die geometrische Summenformel anwenden kann.
$$\sum_{k=0}^{\infty}q^k = q^0 + q^1 + q^2 + ... \\ = q^0 + \sum_{k=1}^{\infty}q^k = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}q^k\\\sum_{k=1}^{\infty}q^k = \left(\sum_{k=0}^{\infty}q^k  \right)  - 1 $$
"und wieso sich das k in Luft auflöst."
Das ist die Anwendung der geometrischen Summenformel.
Nicht nur das k, sondern auch das Summenzeichen verschwindet.

"Könnte mir noch einer sagen unter welchem Schlagwort ich weitere Formeln dieser art finde?"
Summenformeln für Reihen https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Unendliche_Reihen

Beste Grüße
gorgar