Zeigen, dass eine Folge keine weiteren Häufungspunkte hat.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Häufungspunkte von folgender Folge:

(a_n)_n mit:

1 für n gerade

n für n ungerade

Text erkannt:

3. (4 Punkte) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte folgender Folgen. sind dieses Folgen konvergent oder divergent bzw. bestimmt divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
(i) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
$$ a_{n}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { für } n \text { gerade } \\ n & \text { für } n \text { ungerade } \end{array}\right. $$
(ii) \( \left(n^{2}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
Bitte wenden!

Problem/Ansatz:

offensichtlich ist 1 ein Häufungspunkt, das lässt sich leicht beweisen.

Wie zeige ich, dass es keinen weiteren Häufungspunkt gibt?

LG,
Flo

Answer 1

angenommen es sei a ∈ℝ und a≠1ein Häufungspunkt .

==> In jeder Umgebung von a liegen unendlich viele Folgenglieder.

Wähle eine Umgebung mit Radius ε wobei ε<0,5 und ε<0,5*|a-1| gelten soll.

Dann liegt wegen ε<0,5*|a-1| jedenfalls die 1 nicht in dieser Umgebung

und damit auch alle Folgenglieder mit geradem Index nicht.

Außerdem liegt wegen ε<0,5 höchstens eine natürliche Zahl in der

Umgebung, also von den Folgengliedern mit ungeradem Index höchstens

eines, jedenfalls nicht unendlich viele.