Aloha saskuuu ;)
Ich hatte gestern auf den ersten Teil dieser Aufgabe geantwortet:
https://www.mathelounge.de/785163/zeigen-sie-dass-das-fur-a-b-c-element-aus-k-gilt
und gehofft, dass du das Prinzip dort auf den zweiten Teil übertragen kannst. Anscheinend habe ich das aber nicht gut genug erklärt. Daher mache ich es hier nochmal ganz ausführlich. Unser Ziel ist es, so viele Nullen wie möglich zu produzieren.
$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 2 & 3\\x^2 & x & 1 & -2\\4x & 4 & 2 & 1\\6x & 6 & 3 & 1\end{array}\right|$$Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn wir elementare Gauß-Operationen durchführen. Wir können also Spalte 2 von Spalte 1 subtrahieren:
$$=\left|\begin{array}{rrrr}1-1 & 1 & 2 & 3\\x^2-x & x & 1 & -2\\4x-4 & 4 & 2 & 1\\6x-6 & 6 & 3 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 2 & 3\\x(x-1) & x & 1 & -2\\4(x-1) & 4 & 2 & 1\\6(x-1) & 6 & 3 & 1\end{array}\right|$$Wenn eine Reihe (Spalte oder Zeile) einen gemeinsamen Faktor hat, können wir diesen Faktor vor die Determinante ziehen:
$$=(x-1)\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 2 & 3\\x & x & 1 & -2\\4 & 4 & 2 & 1\\6 & 6 & 3 & 1\end{array}\right|$$Jetzt subtrahieren wir die erste Spalte von der zweiten Spalte und addieren das Doppelte der dritten Spalte zur vierten Spalte
$$=(x-1)\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 2 & 7\\x & 0 & 1 & 0\\4 & 0 & 2 & 5\\6 & 0 & 3 & 7\end{array}\right|$$
Im nächsten Schritt subtrahieren wir das Doppelte der Spalte 2 von Spalte 3 und das 7-fache der Spalte 2 von der vierten Spalte:
$$=(x-1)\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 0 & 0\\x & 0 & 1 & 0\\4 & 0 & 2 & 5\\6 & 0 & 3 & 7\end{array}\right|$$
Jetzt können wir die Determinante nach der 2-ten Spalte entwickeln und beachten dabei die Schachbrett-Regel für das Vorzeichen. (Daher kommt das Minus-Zeichen ganz vorne.)
$$=-(x-1)\left|\begin{array}{rrrr}x & 1 & 0\\4 & 2 & 5\\6 & 3 & 7\end{array}\right|$$
Wir subtrahieren das Doppelte der Spalte 2 von der Spalte 1:
$$=-(x-1)\left|\begin{array}{rrrr}x-2 & 1 & 0\\0 & 2 & 5\\0 & 3 & 7\end{array}\right|$$
Jetzt könnten wir den gemeinsamen Faktor \((x-2)\) aus der Spalte 1 vor die Determinante ziehen. Besser ist es aber, das 1,5-fache der Zeile 2 von der Zeile 3 zu subtrahieren.
$$=-(x-1)\left|\begin{array}{rrrr}x-2 & 1 & 0\\0 & 2 & 5\\0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right|$$
Jetzt haben wir nämlich eine Dreieckmatrix und die Determinate davon ist einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.
$$=-(x-1)(x-2)\cdot2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=(x-1)(x-2)$$
Damit haben wir berechnet:
$$\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 2 & 3\\x^2 & x & 1 & -2\\4x & 4 & 2 & 1\\6x & 6 & 3 & 1\end{array}\right|=(x-1)(x-2)$$
Die Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Die Matrix ist daher invertierbar für alle
$$x\in\left\{x\in\mathbb R\,\left|\,x\ne1\,\land\,x\ne2\right.\right\}$$
