Hallo, die Hölder-Ungleichung lautet ja hier zunächst
\( \underbrace{\sum\limits_{k=1}^n |x_k\cdot y_k|}_{(*)}\leq \left(\sum\limits_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}\cdot \left(\sum\limits_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{\frac{1}{q}}\) mit \(\underbrace{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}_{(**)}\) sowie
\(x:=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}, \quad y:=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n\).
Versuch doch mal den gegebenen Ausdruck \((x_1+...+x_n)^p=\left(\sum\limits_{k=1}^n x_k \right)^p\) so umzuformen, sodass du die Hölder-Ungleichung in ihrer Struktur (linke Seite (*)) wieder erkennen kannst. Überlege dir, wie hier \(y\) zu wählen ist und du mittels (**) \(q\) erhältst. Hast du das getan, ist der Rest nur noch in die Hölder-Ungleichung einsetzen und vereinfachen.
