Entscheiden, ob es lineare Abbildung aus R2-->R3 gibt

Question

Entscheiden Sie ob es eine lineare Abbildung φ : ℝ² →ℝ³ mit φ(x^(j)) = y^(j)  (j=1,2,3) gibt, wobei

x⁽¹⁾ := \( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \) , x⁽²⁾ := \( \begin{pmatrix} -1\\3 \end{pmatrix} \), x⁽³⁾ := \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)     

und

y⁽¹⁾ = \( \begin{pmatrix} 3\\0\\2 \end{pmatrix} \) , y⁽²⁾  = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} \) , y⁽³⁾ = \( \begin{pmatrix} 1\\5\\1 \end{pmatrix} \)

Ich bin mir hier unsicher, ob ich jeweils einzeln, also x¹ = y¹ und x² = y² ... entscheiden soll, ob lineare Abbildung oder nicht, oder alles zusammen entscheiden soll.

Außerdem verstehe ich nicht wie ich aus dem ℝ²  in den ℝ³ gelangen soll.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Lineare Abbildungen in mehrdimensionalen Räumen

Stichworte: lineare-abbildung,mehrdimensional

Aufgabe:

Entscheiden Sie (Mit Begründung!) ob es eine lineare Abbildung ϕ : R2 → R3
mit ϕ(x^(j)) = y^(j)

(j = 1, 2, 3) gibt, wobei

x(1) := (2,1) ; x(2) := (-1,3) ; x(3):= (1,1) und
y(1):=(3,0,2) ; y(2):= (0,0,-4) ; y(3):= (1,5,1)

…

Problem/Ansatz:
Moin Leute,
ich bräuchte Hilfe dabei, wie ich die Aufgabe lösen soll ^^'

Answer 1

oder alles zusammen entscheiden soll.

Es ist eine lineare Abbildung gesucht, die alle drei Bedingungen erfüllt.

x¹ = y¹ und x² = y²

Das ist offensichtlich Blödsinn.

Stattdessen muss die gesuchte Abbildung folgende drei Bedingungen erfüllen.

• φ(x⁽¹⁾) = y⁽¹⁾
• φ(x⁽²⁾) = y⁽²⁾
• φ(x⁽³⁾) = y⁽³⁾
  

Außerdem verstehe ich nicht wie ich aus dem ℝ² in den ℝ³ gelangen soll.

Durch Multiplikation mit einer 3×2-Matrix.

Comments

Ist klarer geworden, danke.

Answer 2

Die y-s sind die Bilder von den x-en.

Also φ(x(1)) = y(1)  und φ(x(j2) = y(2) und φ(x(3)) = y(3)

Nun kann man aber x(3) durch (x1) und x(2) darstellen mittels

4/7 * x(1) + 1/7 * x(2) = x(3)

wäre φ linear, müsste gelten φ( x(3) )
                                =  φ(4/7 * x(1) + 1/7 * x(2))

                               =   4/7 * φ(x(1)) + 1/7 * φ(x(2))

                                =  4/7 * y(1)+ 1/7 * y(2)

andererseits ist aber φ( x(3) ) = y(3).

Du siehst: Das ist nicht gleich, also kann φ nicht linear sein.

Comments

Macht Sinn, super, vielen Dank.

Answer 3

Da die drei Punkte x^j nicht auf einer Geraden im ℝ²  liegen (das habe ich durch eine einfache Skizze auf dem karierten Block geprüft), muss es eine solche lineare Abbildung geben. Man kann auch zeigen, dass es nur eine einzige solche Abbildung gibt.

Bemerkung:  möglicherweise habe ich den Begriff "lineare Abbildung" etwas anders verstanden als intendiert war, nämlich als "linear affine Abbildung" in einen zweidimensionalen Unterraum von ℝ³ ...