Gauß-Algorithmus Kern/Rang/Lösungsmenge/Bild

Question

Aufgabe:Wie kann ich bei diesen Matrizen mithilfe des Gauß-Algorithmus Kern, Bild, Rang und Lösungsmenge bestimmen?

\(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \\ -4&1&0&0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x1  \\ x2 \\ x3\\x4 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1&1&3 \\ 2&1&3 \\ 3&1&3\end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\ x3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie genau ich vorgehen soll.

Comments

Kann bei der 2. Matrix das Bild so aussehen : \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\1 \\ 2\\ \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \\ 1\\ \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \\ 0\\ \end{pmatrix} \) ?

Dann wäre der Rang 3, und die Basis wäre \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\1 \\ 2\\ \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \\ 1\\ \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \\ 0\\ \end{pmatrix} \)

Der Kern wäre doch nur der Nullvektor, oder?

Answer 1

Kern, Bild, Rang und Lösungsmenge bestimmen?
Kern, Bild, Rang  gehören allein zur Matrix

und die Lösungsmenge bezieht sich auf das Gleichungssystem.

Gauss-Algorithmus bei der ersten angewandt auf

\(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 & 0 &0\\ -3 & 1 & -4 & 1 & 1 \\ -4&1&0&0&1 \end{pmatrix} \) 

liefert

\(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 & 0 &0\\ 0 & 1 & -16 & 0 & 1 \\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix} \)

Also rang=3 und die ertse, zweite und 4. Spalte der gegebenen Matrix

bilden eine Basis des Bildes

und der Kern wird gebildet durch Vektoren der Art (4t ; 16t ; t ; 0 ) .

Die Lösungsmenge des Gl. systems sind alle von der Form (4t ; 16t + 1 ; t ; 0 ) .

Comments

Okay, Dankeschön! War das was ich zur 2. Matrix geschrieben habe richtig?

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Habe es nicht nachgerechnet, aber du kannst doch einfach die

Spalten der Matrix als Basis des Bildes nehmen.

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Okay, kann mit denen dann auch einfach das Bild angeben? Und schreibe ich den Kern so auf : kerA=(0) ?

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Besser so   kerA={0}