Den 1. Schritt kann ich nachvollziehen, aber wenn ich Vektor \( \vec{b} \) mit Matrix B multipliziere, bekomme ich \( \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \) raus..
das ist auch richtig! Dieser Vektor ist aber nicht die Lösung sondern nur die rechte Seite eines neuen LGS: $$\begin{aligned} BA \vec x &= B \vec b\\ \begin{pmatrix}3& 7& 5\\ 7& 19& 13\end{pmatrix} \cdot \vec x &= \begin{pmatrix}6\\ 16\end{pmatrix}\end{aligned}$$Multipliziere nun zur Probe, den Vektor \(\begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix}\) mit der Matrix links:$$\begin{pmatrix}3& 7& 5\\ 7& 19& 13\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 16\end{pmatrix}$$D.h. dieser Vektor erfüllt die Gleichung und ist somit schon mal Teil der Lösung ... und der 'Richtungsvektor' aus \(\mathbb L'\) $$\begin{pmatrix}3& 7& 5\\ 7& 19& 13\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$$liefert immer den 0-Vektor. Man kann also beliebige Vielfache von \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -2\end{pmatrix}\) zu \(\begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix}\) hinzu addieren und bekommt nach der Multiplikation immer die selbe rechte Seite.
\(\mathbb L'\) ist also die Lösungsmenge für das Gleichungssystem nach der Multiplikation mit \(B\).