Logarithmus, Ungleichung, Grenzwert

Question

Aufgabe:

Verifiziere die Ungleichung:

\( \frac{1}{n+1} \)  < log (1+1/n)  < \( \frac{1}{n} \)

Problem/Ansatz:

Meine Vermutung ist, dass diese Ungleichung nicht gilt, da \( \frac{1}{n+1} \) monoton fallend ist und nach unten durch 0 beschränkt ist und log (1+1/n) ebenfalls monoton fallend ist und nach unten durch 0 für immer größer werdende n's beschränkt ist uns somit 0 < 0 nicht gilt. doch wie zeige ich ich, dass log(1+1/n) Monoton fallend ist? Habe ich Recht mit meinem Ansatz oder benötigt man eine komplett andere Vorgehensweise?

Answer 1

Die Ungl. stimmt wohl schon. Im positiven Bereich verläuft der grüne Graph

zwischen dem roten und dem blauen, also stimmt es nicht nur für nat. Zahlen

sondern sogar für reelle größer 0.  ~plot~ 1/x;1/(x+1);ln(1+1/x) ~plot~

Beweisen kann man es vielleicht durch Induktion und für alle x > 0

durch die Tatsache, dass es z.B. für x=1/2 stimmt und für alle größeren

die Ableitungen die Ungleichung erfüllen.

Answer 2

Aloha ;)

Wir führen eine Hilfsvariable \(x\in\left(1;\frac{n+1}{n}\right)\) ein. Weil die Intervallgrenzen selbst nicht angenommen werden, gilt:$$1<x<\frac{n+1}{n}\implies\frac{1}{1}>\frac{1}{x}>\frac{n}{n+1}$$Wenn wir nun über alle 3 Terme in dem \(x\)-Intervall integrieren, finden wir:

$$\int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}\frac{n}{n+1}\,dx<\int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}\frac{1}{x}\,dx<\int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}1\,dx$$$$\frac{n}{n+1}\,\left[x\right]_1^{\frac{n+1}{n}}<\left[\ln(x)\right]_1^{\frac{n+1}{n}}<\left[x\right]_1^{\frac{n+1}{n}}$$$$\frac{n}{n+1}\left(\frac{n+1}{n}-1\right)<\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)-\ln(1)<\frac{n+1}{n}-1$$$$\frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}-1\right)<\ln\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)-0<\frac{n}{n}+\frac{1}{n}-1$$$$\frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}\quad\checkmark$$Die Ungleichung ist also tatsächlich korrekt.