Flächeninhalt mittels Integralrechnung berechnen

Question

Aufgabe:

\( f(x)=-\frac{x^{3}}{8}+2 x \)

Wie lautet der Flächeninhalt im Intervall [-2;2]?

Ich hab schon Schwierigkeiten die Stammfunktion zu bilden ...

Bitte mit Erklärung wenn’s geht! :)

Answer 1

Hallo,

die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f(-x)=-f(x)\). Somit könnte man sofort schlussfolgern, dass in diesem symmetrischen Intervall das Integral gleich Null ist.

Das wird dich aber nicht weiterbringen, weil du scheinbar die Basics noch nicht ganz verstanden hast. Legen wir los: Du hast \(f(x)=-\frac{1}{8}x^3+2x\) gegeben. Um die Stammfunktion zu bilden, erhöhst du jeden Exponentengrad um \(+1\) und teilst durch den neuen Grad:$$F(x)=-\frac{1}{8}\frac{x^{\boxed{4}}}{\boxed{4}}+2\frac{x^{\boxed{2}}}{\boxed{2}}=-\frac{1}{32}x^4+x^2$$ Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt dann:$$\int \limits_{-2}^{2}f(x) \, \mathrm{d}x=F(2)-F(-2)=-\frac{1}{32}\cdot2^{4}+2^{2}-\left(-\frac{1}{32}\cdot\left(-2\right)^{4}+\left(-2\right)^{2}\right)=0$$

Answer 2

Text erkannt:

\( f(x)=-\frac{x^{3}}{8}+2 x \)
Stammfunktion:
\( F(x)=\int\left(-\frac{1}{8} x^{3}+2 x^{1}\right) \cdot d x= \)
\( =\left[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}+2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}\right]+C \)
\( =\left[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{4}}{4}+2 \cdot \frac{x^{2}}{2}\right]+C \)
\( =\left[-\frac{x^{4}}{32}+x^{2}\right]+C \)

mfG

Moliets

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vielen Dank! :)