Untersuchen von Reihen (absolute Konvergenz)

Question

Aufgabe:

Reihe untersuchen

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich verstehe nicht wirklich wie ich die Reihe untersuchen soll und wie ich am besten anfange.

Danke für jede Hilfe

Text erkannt:

(b) Betrachten Sie die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) mit den Gliedern
\( \underline{Y} \)
$$ a_{n}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{n}{2^{n}}, & n \text { ungerade } \\ \frac{1}{2^{n}}, & n \text { gerade. } \end{array}\right. $$
Untersuchen Sie, ob \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \) bzw. \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \) existieren. Ist \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) ab-
solut konvergent?

Comments

Wie würdest du denn anfangen? Verwirrt dich \(a_n\), weil man zwischen \(n\) gerade bzw. ungerade unterschediet? Erkläre uns doch mal dein Problem.

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Einen richtigen Ansatz hatte ich noch nicht.

Ich habe jetzt versucht die absolute Konvergenz durch das Wurzelkriterium zu zeigen. Aber wie ich den ersten Teil der Aufgabe zeige verstehe ich nicht.

Answer 1

Für ungerade \(n\) gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{n}{2^n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{2}=\frac{1}{2}$$Hier verwendet man einen speziellen Grenzwert \(\sqrt[n]{n}\xrightarrow{n\to \infty}1\)

Für gerade \(n\) gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{2^n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ Damit konvergiert die Reihe absolut nach dem Wurzelkriterium.