Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{k}} \) durch
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \) und \( h_{k}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ k \\ 7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -9\end{array}\right) \)

b) Überprüfen Sie die Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{k}} . \) Wenn sie sich schneiden, berechnen Sie den Schnittpunkt.
c) Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen.

Problem/Ansatz:

Für b) habe ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt. Nun hindert der Parameter von der Schar mich aber daran, eine Matrix zu bilden und dies mit dem GTR zu lösen. Manuell mit dem Subtraktionsverfahren habe ich es auch schon probiert, scheitere jedoch immer.

Answer 1

b) Überprüfen Sie die Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{k}} . \) Wenn sie sich schneiden, berechnen Sie den Schnittpunkt.

[-2, 1, 3] + r·[3, -2, 2] = [4, k, 7] + s·[1, 1, -9] --> k = -3 ∧ r = 2 ∧ s = 0

Die Geraden schneiden sich für k = -3 im Punkt (4 | -3 | 7)

c) Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen.

[-2, 1, 3] + r·[3, -2, 2] = [0, y, z] --> y = - 1/3 ∧ z = 13/3 ∧ r = 2/3 → (0 | -1/3 |13/3)

[-2, 1, 3] + r·[3, -2, 2] = [x, 0, z] --> x = -0.5 ∧ z = 4 ∧ r = 0.5 → (-0.5 | 0 | 4)

[-2, 1, 3] + r·[3, -2, 2] = [x, y, 0] --> x = -6.5 ∧ y = 4 ∧ r = -1.5 → (-6.5 | 4 | 0)

Comments

Danke für die Auflösung. Jedoch würde ich gerne wissen, wie man die beiden gleichgesetzten Gleichungen, also das LGS auflösen kann. Am besten Schritt für Schritt damit ich es auch verstehe

Answer 2

Gegeben sind die Geraden $$ \mathrm{g}  und \mathrm{h}_{\mathrm{k}}$$  durch
$$ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) $$ und $$h_{k}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ k \\ 7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -9\end{array}\right) $$$$-2+3r=4+s$$$$s=-6+3r$$$$3+2r=7-9s$$$$3+2r=7+54-27r$$$$29r=58$$$$r=2 ; s=0$$$$k=1+2*(-2)=-3$$$$P=\left(\begin{array}{c}4 \\ -3 \\ 7\end{array}\right)$$