Lineare Unabhängigkeit in R^3 mit definierter Funktion auf [0; 2pi]

Question

V = { f | f : [0; 2pi] ->R} sei der Vektorraum der auf [0; 2pi] definierten
Funktionen.

Nun soll ich zeigen, dass

1. sin(x) und cos(x) linear unabhängig sind

2. sin(x + x/4) ∈ span(cos(x), sin(x))

3. cos^2(x) ∉ span(cos(x), sin(x))

Wie soll ich hier die 3 Fälle zeigen bzw. wie muss ich hier was rechnen, denke ich habe bei dieser Aufgabe irgendeinen kompletten Denkfehler.

Was ich im Kopf habe ist hoffe ich schon einmal richtig und zwar, dass der Vektorraum einen Kreis aufspannt. Mehr weiß man allerdings nicht oder übersehe ich irgendetwas?

Danke schon einmal für die Hilfe.

Answer 1

sin(x) und cos(x) linear unabhängig sind  

da musst du nur zeigen, dass aus a*sin(x) + b*cos(x) = 0 für

alle x∈ [0;2pi] folgt a=b=0  (Wähle dazu geeignete x-Werte.

b) sin(x + x/4) ∈ span(cos(x), sin(x))

zeige: Es gibt a,b ∈ℝ mit  sin(x + x/4) = a*cos(x) + b*sin(x)

Tipp: Add.theorem

c) cos^2(x) ∉ span(cos(x), sin(x))

zeige: Es gibt KEINE a,b ∈ℝ mit cos^2(x) = a*cos(x) + b*sin(x)

Comments

1. Wenn ich für x = 0 einsetzen würde, könnte ich das dann so rechnen:

a * sin(0) + b * cos(0) = 0

a * 0 + b * 1 = 0

b = 0 und a kann auch gleich 0 sein.

Oder setze ich einfach a und b direkt 0:

0 * sin(x) + 0 * cos(x) = 0  Dann müsste ich allerdings ja nichts mehr für x einsetzen, da egal was ich einsetze 0 rauskommt.

2. hier sehe ich gerade es ist pi/4 und nicht x/4 also insgesamt sin(x + pi/4) ∈ span(cos(x), sin(x))

wäre es dann so richtig:

sin(x) * cos(pi/4) + cos(x) * sin(pi/4) = a*cos(x)+b*sin(x)

somit könnte ich a = sin(pi/4) und b = cos(pi/4) setzen und hätte auf beiden seiten das gleiche und es wäre bewiesen oder?

3. Kann ich hier nicht a bzw. b immer so setzen, das es immer erfüllt ist? Oder gibt es bei a und b irgendwelche Limits/einschränkungen?

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1. Du musst zeigen, dass es NUR für a=b=0 möglich ist.

2 . OK

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1. Habe ich aber nicht oben quasi bewiesen, das wenn man für x = 0 einsetzt das a auch einen anderen Wert annehmen kann? Oder muss a und b immer gleich bleiben?

2. Müsste also so stimmen oder?

3. Hier auch muss a und b immer gleich sein weil sonst kann ich a und b ja immer passend wählen, das es wieder erfüllt ist.

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1. Habe ich aber nicht oben quasi bewiesen, das wenn man für x = 0 einsetzt das a auch einen anderen Wert annehmen kann? Oder muss a und b immer gleich bleiben?

Es geht um a und b. Zu prüfen ist, ob es eine andere Möglichkeit als

a=b=0 gibt so, dass es für ALLE x stimmt.

2. Müsste also so stimmen oder?   Ja !

3. kann ich a und b ja immer passend wählen, das es wieder erfüllt ist.

Wenn du solche a und b angeben kannst, wäre die Aussage widerlegt

und man hätte cos^2(x) ∈ span(cos(x), sin(x))

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Ah okay dann muss ich bei der 3. auch a und b so wählen, das es für alle x stimmt oder?

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Ja genau, das musst du versuchen.

Wird aber nicht gelingen; denn dann müsste ja

a*sin(x) +b*cos(x) = cos^2(x) für alle x gelten.

Wenn du es mal für x=0 und x=pi/4 und x=pi/2

aufschreibst, merkst du schnell:

Das geht nicht, also in der Tat:

cos^2(x) ∉ span(cos(x), sin(x))